Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien en maths Spé (prépa) (page 3) | The Maths Tailor
Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien, Spé (prépa) (page 3)
289 exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Adjoint d'un endomorphisme, Projecteurs orthogonaux et symétries orthogonales, Matrices orthogonales et isométries vectorielles, Réduction des isométries.
Justifier queA=1−2−2−21−2−2−21est diagonalisable et trouver P telle que tPAP soit diagonale.
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1. Diagonalisabilité. A est symétrique réelle, donc le théorème spectral s'applique : A est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres, et les sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. C'est cette orthogonalité qui va tout donner sans calcul pénible.
2. Le spectre, sans développer le déterminant. Notons J la matrice 3×3 dont tous les coefficients valent 1. AlorsA=3I3−2J,car la diagonale vaut 3−2=1 et les autres coefficients 0−2=−2.
Or le spectre de J se lit à vue : JX=(x+y+z)111, donckerJ={x+y+z=0}(plan, valeur propre 0),J111=3111.En reportant dans A=3I3−2J : à la valeur propre 0 de J correspond 3−2×0=3 pour A, et à la valeur propre 3 de J correspond 3−2×3=−3. D'oùχA=−(X+3)(X−3)2.3. Le sous-espace propre E3 : un plan. On résout (A−3I3)X=0. Les trois lignes de A−3I3 sont toutes égales à (−2,−2,−2), donc le système se réduit à une seule équation :E3={(x,y,z)∣x+y+z=0}.C'est un plan, donc dimE3=2 : cohérent avec la multiplicité 2 de la racine 3.
4. Le sous-espace propre E−3 : pourquoi la droite x=y=z ? Deux façons de le voir, la seconde étant celle qui fait gagner du temps.
*Par le calcul.* On résout (A+3I3)X=0, c'est-à-dire 4x−2y−2z=0 et −2x+4y−2z=0. En soustrayant, 6x−6y=0 donc x=y, puis z=x : on retrouve la droite x=y=z.
*Par l'orthogonalité (le vrai réflexe).* Le théorème spectral impose E−3⊥E3. Comme dimE−3=1 et E3 est le plan d'équation x+y+z=0, il ne reste qu'un candidat : la droite normale à ce plan. Or le vecteur normal d'un plan d'équation ax+by+cz=0 est exactement (a,b,c) ; ici (1,1,1). DoncE−3=Vect((1,1,1))={x=y=z}.Vérification immédiate : A(1,1,1)T=(1−2−2,−2+1−2,−2−2+1)T=−3(1,1,1)T.
5. Interprétation géométrique. Les valeurs propres de 31A sont −1 (sur la droite x=y=z) et +1 (sur le plan x+y+z=0) : 31A est donc la réflexion orthogonale par rapport au plan x+y+z=0. C'est pour cela que le plan et sa normale apparaissent, et rien d'autre.
6. Construction de P. On orthonormalise chaque sous-espace propre séparément (les deux blocs sont déjà orthogonaux entre eux).
Pour E−3 : on normalise (1,1,1), de norme 3, ce qui donne e1=31(1,1,1).
Pour E3 (plan x+y+z=0) : on choisit (1,−1,0), de norme 2, d'où e2=21(1,−1,0) ; puis un vecteur du plan orthogonal à e2, par exemple (1,1,−2) (on vérifie 1+1−2=0 et (1,1,−2)⋅(1,−1,0)=0), de norme 6, d'où e3=61(1,1,−2).
En rangeant e1,e2,e3 en colonnes :P=1/31/31/31/2−1/201/61/6−2/6,tPAP=−300030003.P est orthogonale (colonnes orthonormées), donc tP=P−1 : la relation tPAP=D est bien une relation de similitude.
72.Deuxième matrice 3×3 à diagonaliser
On considère la matriceA=−2−21−21−21−2−2.
Q1-Justifiez que la matrice A est diagonalisable.
Q2-Déterminer P et D dans M3(R) telles que tP=P−1, D est diagonale et tPAP=D.
Soit n∈N avec n≥2 et M∈Sn(R) à coefficients tous positifs. On veut montrer que M admet un vecteur propre à coordonnées toutes positives, associé à une valeur propre positive.
Q1-Trouver les valeurs propres deab⋮bba⋯⋯⋱bb⋮⋮a.
Q2-Montrer que si S∈Sn(R) a des valeurs propres toutes positives, ses coefficients ne sont pas forcément tous positifs.
Q3-Montrer queα=sup{⟨X,MX⟩∣X∈Mn,1(R),∥X∥=1}existe et est valeur propre de M.
Q4-En considérant la valeur absolue d'un vecteur X à définir, établir la propriété voulue.
Q5-Cette propriété reste-t-elle vraie si la matrice M n'est pas symétrique ?
Soit E un espace vectoriel euclidien dont le produit scalaire est noté (⋅∣⋅). Une application f:E→E est dite antisymétrique lorsque ∀x,y∈E,(f(x)∣y)=−(x∣f(y)).
Q1-Montrer qu'une telle application est linéaire (ce qui permet dès lors de parler d'endomorphisme antisymétrique).
Q2-Montrer que la matrice dans une base orthonormée d'un endomorphisme antisymétrique de E est elle-même antisymétrique.
Q3-Soient A∈Mn(R) une matrice antisymétrique, λ une valeur propre complexe de A et X∈Mn,1(C) une colonne non nulle vérifiant AX=λX. En calculant de deux façons tXAX, établir λ∈iR.
Un endomorphisme u d'un espace euclidien E est dit antisymétrique si ∀x∈E,(u(x)∣x)=0. Soit u un endomorphisme antisymétrique.
Q1-Quelles sont les seules valeurs propres réelles possibles pour u ? À quelle condition un endomorphisme antisymétrique est-il diagonalisable ?
Q2-Établir que, pour tout x,y∈E, (u(x)∣y)=−(x∣u(y)). En déduire que la matrice A dans une base orthonormée d'un endomorphisme antisymétrique est elle-même antisymétrique.
Q3-Soient A une matrice antisymétrique réelle, λ une valeur propre complexe de la matrice A et X un vecteur propre associé. En étudiant tXAX, établir que λ∈iR.
On note E l'espace vectoriel Rn, n≥2, muni de sa structure euclidienne canonique. Le produit scalaire est noté (⋅∣⋅). On dit qu'une application f:E→E est antisymétrique si ∀x,y∈E,(x∣f(y))=−(f(x)∣y).
Q1-Montrer qu'une application antisymétrique de E est linéaire. Que dire de sa matrice dans la base canonique de E ?
Q2-Montrer que l'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E) et donner sa dimension.
Q1-Montrer qu'il existe un unique couple (A,S)∈Mn(R)2 tel que M=A+S,tA=−A,tS=S.
Q2-Montrer que M et tM commutent si, et seulement si, A et S commutent.
Q3-Soit A∈Mn(R) telle que tA=−A. On suppose que A est inversible. Montrer que n est pair et qu'il existe P∈On(R) et (a1,…,ap)∈(R+∗)p tels que A=PDP−1 où D est une matrice diagonale par blocs avec des blocs D1,…,Dp où Di=(0ai−ai0).
Q4-Énoncer et prouver un théorème de réduction pour les matrices normales de Mn(R), c'est-à-dire les matrices M∈Mn(R) telles que MtM=tMM.
Soient E un espace euclidien et u∈L(E) symétrique à valeurs propres strictement positives. Montrer que, pour tout x∈E, ∥x∥4≤⟨u(x),x⟩⟨u−1(x),x⟩. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait égalité.
On note Sn+(R) l'ensemble des matrices symétriques de Mn(R) de valeurs propres positives. Soit A∈Sn+(R). On veut montrer qu'il existe une unique matrice B∈Sn+(R) telle que B2=A.
Q1-Prouver l'existence.
Q2-On considère maintenant B∈Sn+(R) vérifiant B2=A. Établir par le lemme de décomposition des noyaux que pour tout λ>0Ker(B−λIn)=Ker(A−λIn).
On note Sn+(R) l'ensemble des matrices symétriques de Mn(R) de valeurs propres positives. Soit A∈Sn+(R). On veut montrer qu'il existe une unique matrice B∈Sn+(R) telle que B2=A.
Q1-Prouver l'existence.
Q2-Établir que si B∈Sn+(R) vérifie B2=A alors pour tout λ∈SpA, Ker(B−λIn)⊂Ker(A−λIn) puis Ker(B−λIn)=Ker(A−λIn).
On note Sn+(R) l'ensemble des matrices symétriques de Mn(R) de valeurs propres positives. Soit A∈Sn+(R). Montrer qu'il existe une unique matrice B∈Sn+(R) telle que B2=A.
On munit Mn(R) du produit scalaire canonique. On note An(R) l'ensemble des matrices antisymétriques de Mn(R) et Sn+(R) l'ensemble des matrices symétriques à valeurs propres positives. Soit A∈Mn(R) telle que pour tout U∈On(R), tr(AU)≤trA.
Q1-Déterminer le supplémentaire orthogonal de An(R).
Q2-Soit B∈An(R). Montrer que pour tout x∈R, exp(xB)∈On(R).
Soit A une matrice symétrique réelle positive de taille n. Pour α>0, on note Sα={M∈Sn(R)∣SpM⊂R+ et det(M)≥α}. Le but est de montrer la formule : M∈Sαinftr(AM)=n(αdet(A))1/n.
Q1-Démontrer la formule dans le cas A=In.
Q2-Montrer que toute matrice A symétrique réelle positive peut s'écrire A=tPP avec P matrice carrée de taille n.
Soient a un vecteur unitaire d'un espace préhilbertien réel E, k un réel et φ:E×E→R l'application déterminée parφ(x,y)=⟨x,y⟩+k⟨x,a⟩⟨y,a⟩.Donner une condition nécessaire et suffisante pour que φ soit un produit scalaire.
Q4-En déduire que le déterminant d'un endomorphisme antisymétrique est un réel positif.
Q3-Soit x∈Va∖{0E}. Montrer que (s(x)∣x)=a∥x∥2=−∥f(x)∥2 et en déduire que a<0.
Q4-On considère toujours x∈Va∖{0E}. Montrer que F=Vect(x,f(x)) et F⊥ sont stables par f. Montrer que l'endomorphisme induit sur F par f a une matrice de la forme (0b−b0) dans une base orthonormée (on précisera b).
Q5-Conclure que la dimension de E est paire.
Q3-Montrer aussi KerB=KerA.
Q4-Conclure l'unicité.
Q3-Montrer que A∈Sn+(R).
Q4-Étudier la réciproque.
Q5-Montrer que pour toute matrice M∈Mn(R) il existe S∈Sn+(R) et U∈On(R) telles que M=SU.
Q3
-
Démontrer la formule.
Q4-Le résultat est-il encore vrai si α=0 ?
Q5-Le résultat reste-t-il vrai si A n'est que symétrique réelle ?
