Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien en maths Spé (prépa) (page 6)

172. $Orthogonaux : somme et intersection$

Soient

F

G

deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien réel

E

.
1. Montrer que

F \subset G ⟹ G^{⊥} \subset F^{⊥}

et que, si

F

G

sont de dimension finie,

G^{⊥} \subset F^{⊥} ⟹ F \subset G

.
2. Montrer que

(F + G)^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥}

.
3. Montrer que

F^{⊥} + G^{⊥} \subset (F \cap G)^{⊥}

et que, si

E

est de dimension finie,

(F \cap G)^{⊥} = F^{⊥} + G^{⊥}

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173. $Orthogonal et topologie$

Soit

F

un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien réel

E

que l'on munit de sa norme euclidienne.
1. Montrer que pour tout

y \in E

φ_{y} : x \in E \mapsto ⟨ x, y ⟩

est continue.
2. Montrer que

F^{⊥}

est fermé dans

E

.
3. Montrer que de manière générale,

F \subset (F^{⊥})^{⊥}

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174. $Matrice de la projection sur vect (u)$

Soit

u

un vecteur unitaire d'un espace euclidien

E

. On note

U

le vecteur colonne représentant

u

dans une base orthonormée

B

E

. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur

vect (u)

dans

B

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175. $ENS MP$

Soient

n \in N^{*}

(e_{1}, \dots, e_{n})

une base orthogonale de

R^{n}

.
1. Montrer qu'il existe un vecteur

u

R^{n}

non nul tel que les projetés orthogonaux de

e_{1}, \dots, e_{n}

sur

vect (u)

aient la même norme.
2. Montrer que cette norme commune est indépendante du vecteur

u

choisi et l'exprimer en fonction de

∥ e_{1} ∥, \dots, ∥ e_{n} ∥

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176. $Caractérisations des projections orthogonales$

Soient

E

un espace euclidien et

p

une projection de

E

. Etablir l'équivalence des trois propriétés suivantes :
1.

p

est orthogonale;
2.

\forall x, y \in E, ⟨ p (x) ∣ y ⟩ = ⟨ x ∣ p (y)⟩

;
3.

\forall x \in E, ∥ p (x) ∥ ⩽ ∥ x ∥

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177. $Convergence de Cesàro : point fixe$

Soit

E

un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit

u \in O (E)

.
1. Montrer que

E = ker (Id_{E} - u)^{⊥} \oplus Im (Id_{E} - u)

.
2. Soit

x \in E

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

x_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 u^{k} (x)

. Montrer que

(x_{n})

converge vers la projection de

x

sur

ker (Id_{E} - u)

parallèlement à

Im (Id_{E} - u)

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178. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Soit

E = R [X]

.
1. Montrer que

(P, Q) \mapsto \int_{0}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t} d t

est un produit scalaire sur

E

.
2. Calculer

\int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t

pour tout

n \in N

.
3. Donner une base orthonormée de

F = R_{2} [X]

.
4. Déterminer le projeté orthogonal de

X^{3}

sur

F

.
5. Montrer que :

\forall P \in E, ∣ \int_{0}^{+ \infty} P (t) e^{- t} d t ∣ \leq \int_{0}^{+ \infty} P^{2} (t) e^{- t} d t

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179. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Soient

n \geq 3

M = 01 ⋮ 1 10 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 10 ⋮ 0

f

l'endomorphisme de

R^{n}

canoniquement associé à

M

.
1. Donner le rang de

M

.
2. Déterminer les valeurs propres de

M

et les sous-espaces propres associés.
3. Donner la matrice du projecteur orthogonal sur

Im f

dans la base canonique de

R^{n}

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180. $CCP MP 2018$

On note

E

l'espace vectoriel des applications continues sur le segment

[- 1, 1]

et à valeurs réelles.
1. Démontrer que l'on définit un produit scalaire sur

E

en posant pour

f

g

éléments de

E

(f ∣ g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t

2. On note

u : t \mapsto 1

v : t \mapsto t

F = vect (u, v)

. Déterminer une base orthonormée de

F

.
3. Déterminer le projeté orthogonal de la fonction

w : t \mapsto e^{t}

sur le sous-espace

F

et en déduire la valeur du réel

(a, b) \in R^{2} in f [\int_{- 1}^{1} (e^{t} - (a + b t))^{2} d t]

On pourra simplifier les calculs en utilisant le théorème de Pythagore.

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181. $D'après Mines 2023$

Soit

E

un espace euclidien.
1. Soit

f

un projecteur de

E

. Montrer que

f

est un projecteur orthogonal si et seulement si

\forall x \in E, ∥ f (x) ∥ \leq ∥ x ∥

.
2. Soient

p

q

deux projecteurs orthogonaux de

E

. On suppose que

p \circ q

est un projecteur. Montrer que

p

q

commutent.

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182. $Approximation quadratique de sin$

Calculer le minimum de

ϕ : R^{2} \to R, (a, b) \mapsto \int_{0}^{π} (sin x - a x^{2} - b x)^{2} d x

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183. $Pseudo-solutions et moindres carrés$

Soient

m, n \in N^{*}

. On munit

M_{m, 1} (R)

(resp.

M_{n, 1} (R)

) du produit scalaire

(X, Y) \mapsto X^{⊤} Y

. On se donne

A \in M_{m, n} (R)

B \in M_{m, 1} (R)

. On pose

E = {∥ A X - B ∥^{2}, X \in M_{n, 1} (R)}

K = in f E

.
1. Justifier l'existence de

K

.
2. On considère le système linéaire

(S) : A X = B

. On appelle pseudo-solution de

S

tout élément

Y

M_{n, 1} (R)

tel que

∥ A Y - B ∥^{2} = K

. Montrer que si

(S)

admet une solution, les pseudo-solutions de

(S)

sont les solutions de

(S)

.
3. On associe à

(S)

le système

(S^{'}) : A^{⊤} A X = A^{⊤} B

. Montrer qu'un élément

X

M_{n, 1} (R)

est pseudo-solution de

(S)

si et seulement si il est solution de

(S^{'})

.
4. Montrer que

rg A^{⊤} A = rg A

.
5. Montrer que si

rg A = n

(S)

admet une unique pseudo-solution.

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184. $ENS MP 2010$

Soient

E

un espace euclidien et

x_{1}, \dots, x_{p}

des vecteurs de

E

. Pour

x \in E

, on pose

f (x) = i = 1 \sum p ∥ x - x_{i} ∥^{2}

. Montrer que

f

atteint son minimum en un unique point que l'on précisera.

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185. $Minimum de \sum ∥ x - x_{i} ∥^{2}$

Soient

E

un espace euclidien et

x_{1}, \dots, x_{p}

des vecteurs de

E

. Pour

x \in E

, on pose

f (x) = i = 1 \sum p ∥ x - x_{i} ∥^{2}

. Montrer que

f

atteint son minimum en

m = \frac{1}{p} i = 1 \sum p x_{i}

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186. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Pour

n \in N

, on pose

A_{n} = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{+ \infty} t^{n} e^{- t^{2}} d t

. On rappelle que

A_{0} = 1

. Pour tous

P, Q \in R [X]

, on pose

⟨ P, Q ⟩ = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t^{2}} d t

.
1. Vérifier que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

est un produit scalaire sur

R [X]

.
2. Calculer

A_{n}

en distinguant deux cas selon la parité de

n

.
3. Trouver une base orthonormée de

R_{2} [X]

.
4. Calculer

d (X^{3}, R_{2} [X])

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187. $CCINP MP 2024$

On munit

M_{n} (R)

du produit scalaire

(A, B) \mapsto ⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)

.
1. Montrer que

S_{n} (R)

A_{n} (R)

sont supplémentaires et orthogonaux.
2. Calculer la distance de

A = 0 - 1 - 2 10 - 1 210

S_{3} (R)

.
3. Soit

H = {M \in M_{n} (R), tr (M) = 0}

. Montrer que

H

est un sous-espace vectoriel de

M_{n} (R)

et préciser sa dimension.
4. Calculer la distance de

H

M \in M_{n} (R)

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188. $Commutation de deux réflexions$

Soient

H

K

deux hyperplans d'un espace euclidien

E

. On note

s_{H}

s_{K}

les réflexions par rapport à

H

K

. Montrer que

s_{H}

s_{K}

commutent si et seulement si

H = K

H^{⊥} \subset K

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189. $Morphismes du produit vectoriel$

Soit

E

un espace euclidien orienté de dimension 3.
1. Trouver les

f \in L (E)

tels que

\forall u, v \in E, f (u \land v) = f (u) \land f (v)

2. Trouver les

f \in L (E)

tels que

\forall u, v \in E, f (u \land v) = - f (u) \land f (v)

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190. $Réflexion par rapport à un plan$

Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan d'équation

x + 2 y - 3 z = 0

dans la base canonique de

R^{3}

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191. $Compléter une matrice en rotation$

Déterminer les réels

a, b, c

pour que

A = 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 2 0 - 1/ 2 a b c

soit la matrice d'une rotation.

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192. $Somme de deux réflexions planes$

Soit

E

un espace euclidien de dimension 2.
1. On sait que la matrice d'une réflexion de

E

dans une base orthonormée est de la forme

(cos θ sin θ sin θ - cos θ)

. Quelle est l'interprétation géométrique de

θ

?
2. Déterminer une condition portant sur l'angle entre leurs axes pour que la somme de deux réflexions soit encore une réflexion.

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193. $Petites Mines 2009$

Soit

u

une isométrie vectorielle d'un espace euclidien

E

. On pose

v = Id_{E} - u

. Montrer que

Im v

Ker v

sont orthogonaux et supplémentaires.

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194. $Isométrie de décalage temporel$

Soit

E

le sous-espace vectoriel de

C (R)

engendré par la famille

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

où

e_{1} : t \mapsto 1/ 2

e_{2} : t \mapsto cos (2 π t)

e_{3} : t \mapsto sin (2 π t)

.
1. Montrer que

Φ : (f, g) \mapsto 2 \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t

est un produit scalaire sur

E

.
2. Montrer que

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

est une base orthonormée de

E

.
3. Pour tout réel

x

, on définit l'application

τ_{x}

qui à tout élément

f

E

associe

g

tel que

\forall t \in R, g (t) = f (x - t)

.
a. Montrer que

τ_{x}

est un endomorphisme de

E

. Donner sa matrice relativement à

B

.
b. Montrer que

τ_{x}

est une isométrie vectorielle de

E

.
c. Caractériser géométriquement

τ_{x}

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195. $Image d'une droite par rotation$

Déterminer l'image de la droite d'équation

{x = 0 y = 0

par la rotation d'angle

π /6

et d'axe dirigé par

a (1, 1, 1)

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196. $Décomposer f en deux réflexions$

Soit

E = R^{3}

muni de sa structure euclidienne canonique.
1. Déterminer la matrice dans la base canonique de

E

de la réflexion

s_{1}

par rapport au plan d'équation

x + y - 2 z = 0

.
2. Quelle est la nature de l'endomorphisme

f

E

dont la matrice dans la base canonique est

010001100

. Donner ses éléments caractéristiques.
3. Trouver les réflexions

s_{2}

s_{3}

telles que

s_{1} \circ s_{2} = f

s_{3} \circ s_{1} = f

. Préciser leur plan de réflexion.

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197. $CNS pour une symétrie orthogonale$

Soient

E

un espace euclidien et

f \in L (E)

. On note

A

la matrice de

f

dans une base orthonormale

B

E

. Montrer que

f

est une symétrie orthogonale si et seulement si

A

est une matrice orthogonale symétrique.

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198. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

Soit

f

une isométrie vectorielle d'un espace euclidien

E

.
1. Montrer que

ker (f - Id_{E}) = Im (f - Id_{E})^{⊥}

.
2. En déduire que

(f - Id_{E})^{2} = 0 ⟹ f = Id_{E}

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199. $Réflexion, rotation et conjugaison$

Soient

E

un plan vectoriel euclidien orienté,

r

une rotation de

E

s

une réflexion. Calculer

s \circ r \circ s

r \circ s \circ r

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200. $CCINP (ou CCP) MP 2019$

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

. Montrer que 2 des 3 assertions suivantes impliquent la troisième :
•

u

est une isométrie.
•

u^{2} = - Id_{E}

.
•

\forall x \in E, ⟨ x, u (x)⟩ = 0

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201. $Mines-Télécom MP 2024$

On munit

R^{4}

de son produit scalaire canonique et on note

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})

la base canonique de

R^{4}

. Soit

P

le plan d'équations cartésiennes

{x + y + z + t = 0 x - y + z - t = 0

. Soit

s

la symétrie orthogonale par rapport à

P

. Déterminer la matrice de

s

dans la base

B

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202. $Déterminants égaux de A et D$

Soit

O = (A C B D)

une matrice orthogonale réelle de taille

n

où

A

D

sont deux blocs carrés de tailles respectives

p

q

. Montrer que

(det A)^{2} = (det D)^{2}

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203. $Invariance de tr (A^{⊤} A)$

Soient

A

B

les matrices, dans deux bases orthonormales, d'un endomorphisme d'un espace euclidien. Montrer que

tr (A^{⊤} A) = tr (B^{⊤} B)

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204. $Construire O_{n} via Cayley$

1. Soit

X

une matrice colonne réelle de taille

n

. Montrer que

X^{⊤} X \in R_{+}

et que

X^{⊤} X = 0

implique

X = 0

.
2. Soit

M

une matrice antisymétrique réelle de taille

n

. Montrer que

I_{n} + M

est inversible.
3. On pose

A = (I_{n} - M) (I_{n} + M)^{- 1}

. Montrer que

A

est orthogonale.

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Exercices de Endomorphismes d'un espace euclidien, Spé (prépa) (page 6)

171. $La transposée, symétrie orthogonale$

172. $Orthogonaux : somme et intersection$

173. $Orthogonal et topologie$

174. $Matrice de la projection sur vect (u)$

175. $ENS MP$

176. $Caractérisations des projections orthogonales$

177. $Convergence de Cesàro : point fixe$

178. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

179. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

180. $CCP MP 2018$

181. $D'après Mines 2023$

182. $Approximation quadratique de sin$

183. $Pseudo-solutions et moindres carrés$

184. $ENS MP 2010$

185. $Minimum de \sum ∥ x - x_{i} ∥^{2}$

186. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

187. $CCINP MP 2024$

188. $Commutation de deux réflexions$

189. $Morphismes du produit vectoriel$

190. $Réflexion par rapport à un plan$

191. $Compléter une matrice en rotation$

192. $Somme de deux réflexions planes$

193. $Petites Mines 2009$

194. $Isométrie de décalage temporel$

195. $Image d'une droite par rotation$

196. $Décomposer f en deux réflexions$

197. $CNS pour une symétrie orthogonale$

198. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

199. $Réflexion, rotation et conjugaison$

200. $CCINP (ou CCP) MP 2019$

201. $Mines-Télécom MP 2024$

202. $Déterminants égaux de A et D$

203. $Invariance de tr (A^{⊤} A)$

204. $Construire O_{n} via Cayley$

171.La transposée, symétrie orthogonale

172.Orthogonaux : somme et intersection

173.Orthogonal et topologie

174.Matrice de la projection sur vect(u)

175.ENS MP

176.Caractérisations des projections orthogonales

177.Convergence de Cesàro : point fixe

178.CCINP (ou CCP) MP 2021

179.CCINP (ou CCP) MP 2021

180.CCP MP 2018

181.D'après Mines 2023

182.Approximation quadratique de sin

183.Pseudo-solutions et moindres carrés

184.ENS MP 2010

185.Minimum de ∑∥x−xi​∥2

186.CCINP (ou CCP) MP 2021

187.CCINP MP 2024

188.Commutation de deux réflexions

189.Morphismes du produit vectoriel

190.Réflexion par rapport à un plan

191.Compléter une matrice en rotation

192.Somme de deux réflexions planes

193.Petites Mines 2009

194.Isométrie de décalage temporel

195.Image d'une droite par rotation

196.Décomposer f en deux réflexions

197.CNS pour une symétrie orthogonale

198.Banque Mines-Ponts MP 2018

199.Réflexion, rotation et conjugaison

200.CCINP (ou CCP) MP 2019

201.Mines-Télécom MP 2024

202.Déterminants égaux de A et D

203.Invariance de tr(A⊤A)

204.Construire On​ via Cayley

171. $La transposée, symétrie orthogonale$

172. $Orthogonaux : somme et intersection$

173. $Orthogonal et topologie$

174. $Matrice de la projection sur vect (u)$

175. $ENS MP$

176. $Caractérisations des projections orthogonales$

177. $Convergence de Cesàro : point fixe$

178. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

179. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

180. $CCP MP 2018$

181. $D'après Mines 2023$

182. $Approximation quadratique de sin$

183. $Pseudo-solutions et moindres carrés$

184. $ENS MP 2010$

185. $Minimum de \sum ∥ x - x_{i} ∥^{2}$

186. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

187. $CCINP MP 2024$

188. $Commutation de deux réflexions$

189. $Morphismes du produit vectoriel$

190. $Réflexion par rapport à un plan$

191. $Compléter une matrice en rotation$

192. $Somme de deux réflexions planes$

193. $Petites Mines 2009$

194. $Isométrie de décalage temporel$

195. $Image d'une droite par rotation$

196. $Décomposer f en deux réflexions$

197. $CNS pour une symétrie orthogonale$

198. $Banque Mines-Ponts MP 2018$

199. $Réflexion, rotation et conjugaison$

200. $CCINP (ou CCP) MP 2019$

201. $Mines-Télécom MP 2024$

202. $Déterminants égaux de A et D$

203. $Invariance de tr (A^{⊤} A)$

204. $Construire O_{n} via Cayley$