Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa)

1. $Rayon de convergence, quatre séries$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières :

2. $Rayon de convergence de n! et (n 2 n)$

Déterminer le rayon de convergence de :

Q1-

n \geq 0 \sum n! z^{n}

Q2-

n \geq 0 \sum (n 2 n) z^{n}

Q3-

n \geq 0 \sum \frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}} z^{n}

Q4-

n \geq 0 \sum (n + 1 n + 1 - n n) z^{n}

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3. $Rayon de convergence, z^{n^{2}} et sin (n)$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières :

Q1-

n \geq 0 \sum z^{n^{2}}

Q2-

n \geq 0 \sum sin (n) z^{n}

Q3-

n \geq 1 \sum \frac{sin ( n )}{n ^{2}} z^{n}

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4. $Rayon et convergence normale$

Q1-Déterminer les rayons de convergence des séries entières

\sum ln \frac{n + 1}{n} x^{n}

\sum sin (e^{- n}) x^{n}

Q2-Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence ?

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5. $Rayon d'une récurrence a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}$

Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} x^{n}

où

(a_{n})

est la suite déterminée par

a_{0} = α, a_{1} = β et \forall n \in N, a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}

avec

(α, β) \in R^{2}

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6. $Rayon de convergence de π^{n^{2} + 2 n} x^{2 n}$

Quel est le rayon de convergence de

\sum π^{n^{2} + 2 n} x^{2 n}

7. $Série des décimales de 3$

On note

a_{n}

n

-ième décimale de

3

. Quel est l'intervalle de définition de

n = 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

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8. $Rayon de convergence de \sum cos (n α) / n x^{n}$

Soit

α \in R

. Quel est le rayon de convergence de

n \geq 1 \sum \frac{cos ( n α )}{n} x^{n}

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9. $Rayon, séries des diviseurs de n$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

n \geq 1 \sum d (n) z^{n} et n \geq 1 \sum s (n) z^{n}

où

d (n)

s (n)

désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à

1

de l'entier

n

et la somme de ceux-ci.

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10. $Rayon nul d'une série en 1/ sin (nπ α)$

Soit

α

un réel irrationnel fixé. On note

R_{α}

le rayon de convergence de la série entière

n \geq 1 \sum \frac{x ^{n}}{sin ( nπ α )}

Q1-Démontrer que

R_{α} \leq 1

Q2-On considère la suite

(u_{n})_{n \geq 1}

définie par

u_{1} = 2

\forall n \geq 1, u_{n + 1} = (u_{n})^{u_{n}}

. Démontrer que pour tout entier

n \geq 1

\frac{u _{n}}{u _{n + 1}} \leq \frac{1}{( n + 1 ) ^{n}}

. En déduire que la série de terme général

1/ u_{n}

converge. Dans la suite, on pose

α = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{u _{n}}

et on admet que

α

est irrationnel.

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11. $Rayon via une semi-convergence en z_{0}$

Soient

n \geq 0 \sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

z_{0} \in C

. On suppose que

n \geq 0 \sum a_{n} z_{0}^{n}

est semi-convergente. Déterminer

R

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12. $Rayon via n ∣ a_{n} ∣ \to ℓ$

On suppose que

n ∣ a_{n} ∣ \to ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

. Déterminer le rayon de convergence de

\sum a_{n} z^{n}

Voir le corrigé

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière telle que

n ∣ a_{n} ∣ n \to + \infty ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

.
Il s'agit de redémontrer ou d'appliquer la règle de Cauchy pour les séries entières.
1. Si $ℓ = 0$ :
Pour tout

z \in C^{*}

, on a

n ∣ a_{n} z^{n} ∣ = n ∣ a_{n} ∣ ∣ z ∣ n \to + \infty 0

.
Il existe donc un rang à partir duquel

n ∣ a_{n} z^{n} ∣ \leq \frac{1}{2}

, soit

∣ a_{n} z^{n} ∣ \leq (1/2)^{n}

.
La série

\sum a_{n} z^{n}

converge absolument pour tout

z \in C

. Le rayon est

R = + \infty

.
2. Si $ℓ = + \infty$ :
Pour tout

z \neq = 0

n ∣ a_{n} z^{n} ∣ = n ∣ a_{n} ∣ ∣ z ∣ n \to + \infty + \infty

.
À partir d'un certain rang,

n ∣ a_{n} z^{n} ∣ \geq 1

, soit

∣ a_{n} z^{n} ∣ \geq 1

.
Le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement pour tout

z \neq = 0

. Le rayon est

R = 0

.
3. Si $0 < ℓ < + \infty$ :
Soit

z \in C

. On a

n ∣ a_{n} z^{n} ∣ \to ℓ ∣ z ∣

.
- Si

ℓ ∣ z ∣ < 1

, c'est-à-dire

∣ z ∣ < \frac{1}{ℓ}

: pour

ε > 0

tel que

ℓ ∣ z ∣ + ε < 1

, on a à partir d'un certain rang

∣ a_{n} z^{n} ∣ \leq (ℓ ∣ z ∣ + ε)^{n}

, terme d'une série géométrique convergente. La série converge absolument.
- Si

ℓ ∣ z ∣ > 1

, c'est-à-dire

∣ z ∣ > \frac{1}{ℓ}

: à partir d'un certain rang

n ∣ a_{n} z^{n} ∣ > 1

, donc

∣ a_{n} z^{n} ∣ > 1

. La série diverge grossièrement.
Par définition du rayon de convergence (borne supérieure des modules

r

où il y a convergence), on a

R = \frac{1}{ℓ}

.
(C'est la règle (ou formule) de Cauchy-Hadamard).

13. $Rayon inchangé par un facteur n^{α}$

Montrer que pour tout

α \in R

, les séries entières

\sum a_{n} z^{n}

\sum n^{α} a_{n} z^{n}

ont même rayon de convergence.

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14. $Rayon de convergence de \sum a_{n} z^{2 n}$

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} z^{2 n}

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15. $Rayon de convergence de \sum a_{n}^{2} z^{n}$

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. Déterminer le rayon de convergence de

\sum a_{n}^{2} z^{n}

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16. $Rayon de convergence de \sum a_{n} z^{n} / n!$

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R > 0

. Déterminer le rayon de convergence de

\sum \frac{a _{n}}{n !} z^{n}

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17. $Majoration géométrique et rayon de a_{n} / n!$

Soit une série entière

\sum a_{n} z^{n}

de rayon de convergence non nul.

Q1-Montrer qu'il existe un réel

r > 0

tel que

∣ a_{n} ∣ \leq 1/ r^{n}

à partir d'un certain rang.

Q2-Quel est le rayon de convergence de la série entière

\sum \frac{a _{n}}{n !} z^{n}

Q3-On note

S_{n} = k = 0 \sum n a_{k}

. Quel est le rayon de convergence de la série entière

\sum \frac{S _{n}}{n !} z^{n}

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18. $Relation entre rayons de a_{n} et 1/ a_{n}$

Soit

(a_{n})

une suite de réels tous non nuls. Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières

\sum a_{n} z^{n} et \sum \frac{1}{a _{n}} z^{n} .

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19. $Rayon de convergence de a_{n} / (1 + ∣ a_{n} ∣)$

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. On pose

b_{n} = \frac{a _{n}}{1 + ∣ a _{n} ∣}

et on note

R^{'}

le rayon de convergence de

\sum b_{n} z^{n}

Q1-Montrer que

R^{'} \geq max (1, R)

Q2-Établir que si

R^{'} > 1

alors

R^{'} = R

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20. $Rayon de \sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}, supports disjoints$

Soient

\sum a_{n} z^{n}

\sum b_{n} z^{n}

deux séries entières de rayon de convergence

R_{a}

R_{b}

. On suppose que pour tout

n \in N

a_{n} b_{n} = 0

. Montrer que le rayon de convergence de

\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}

est

R = min (R_{a}, R_{b})

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21. $Équivalent de I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t$

Pour

n \in N^{*}

, on pose

I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t

22. $Intégrale I (p, q) = \int_{0}^{1} t^{p} (1 - t)^{q} d t$

Pour

p, q \in N

, on pose

I (p, q) = \int_{0}^{1} t^{p} (1 - t)^{q} d t

23. $Limite en 1^{-} de \sum (- 1)^{n} ln (n) x^{n}$

Soit

(f_{n})

la suite des fonctions donnée par

\forall n \geq 2, \forall x \in R, f_{n} (x) = (- 1)^{n} ln (n) x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence de la série entière

\sum f_{n}

. On note

S

sa somme.

Q2-Montrer que

\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \frac{1}{1 + x} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n + 1} ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n + 1}

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24. $Bord de convergence, suite a_{n + 1} = ln (1 + a_{n})$

Q1-Étudier la convergence et préciser la limite éventuelle de

(a_{n})

définie par

a_{n + 1} = ln (1 + a_{n})

a_{0} > 0

Q2-Rayon de convergence de

\sum a_{n} x^{n}

Q3-Étudier la convergence de

(\sum a_{n} x^{n})

sur le bord de l'intervalle de convergence (on pourra étudier la limite de

1/ a_{n + 1} - 1/ a_{n}

et utiliser le théorème de Cesaro).

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25. $Continuité en - 1 de \sum x^{n} / n$

Pour

x

réel, on pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière définissant

f

Q2-Étudier la convergence de la série entière en

1

et en

- 1

Q3-Établir la continuité de

f

- 1

Q4-Déterminer la limite de

f

1

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26. $Convexité de s (x) = \sum x^{n} / n$

Q1-Donner l'intervalle de définition

I

de la fonction

s

qui au réel

x

associe

s (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n}

Q2-Quel est le signe de

s^{'}

sur

I \cap R_{+}

? Quelle est la limite de

s

en l'extrémité droite de

I \cap R_{+}

Q3-Écrire

(1 - x) s^{'} (x)

sous forme d'une série et en déduire le signe de

s^{'}

sur

I

Q4-Étudier la convexité de

f

définie sur

R_{+}

par

f (x) = (x + 1 - x) x

. En déduire que la fonction

s

est convexe.

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27. $Limite en 1^{-} de \sum sin (1/ n) x^{n}$

Soit

f : x \mapsto n = 1 \sum + \infty sin (\frac{1}{n}) x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière définissant

f

Q2-Étudier la convergence en

- R

et en

R

Q3-Déterminer la limite de

f (x)

quand

x \to 1^{-}

Q4-Montrer que quand

x \to 1^{-}

(1 - x) f (x) \to 0

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28. $Identité c (z)^{2} + s (z)^{2} = 1 pour deux séries$

On pose

\forall z \in C, c (z) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} z^{2 n} et s (z) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} z^{2 n + 1} .

Montrer que

\forall z \in C, c (z)^{2} + s (z)^{2} = 1

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29. $Sous-séries \sum a_{2 n} z^{2 n} et \sum a_{3 n} z^{3 n}$

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R > 0

et de somme

f

Q1-Exprimer

n = 0 \sum + \infty a_{2 n} z^{2 n}

en fonction de

f

pour

∣ z ∣ < R

30. $Rayon d'une suite T -périodique$

Soit

(a_{n})

une suite non nulle et

T

-périodique (avec

T \in N^{*}

Q1-Déterminer le rayon de convergence de la série entière

n \geq 0 \sum a_{n} x^{n}

Q2-Simplifier

k = 0 \sum n T - 1 a_{k} x^{k}

. En déduire que

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

est, pour tout

x \in] - 1; 1 [

, une fraction rationnelle en

x

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31. $Rayon de convergence de a_{n} et de S_{n}$

Soit

(a_{n})

une suite de réels strictement positifs. On pose

S_{n} = k = 0 \sum n a_{k}

et on suppose

S_{n} \to + \infty

a_{n} / S_{n} \to 0

. Déterminer le rayon de convergence des séries entières

n \geq 0 \sum a_{n} x^{n}

n \geq 0 \sum S_{n} x^{n}

puis former une relation entre leur somme.

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32. $Somme nulle sur [0, α] implique S = 0$

Soit

S (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

de rayon de convergence

R > 0

. On suppose qu'il existe

α > 0

tel que sur

[0; α]

on ait

S (x) = 0

. Montrer que

S = 0

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33. $Formule de Parseval pour \sum a_{n} z^{n}$

Soit une série entière

n = 0 \sum \infty a_{n} z^{n}

de rayon de convergence

R > 0

et de somme

f (z)

Q1-Montrer que pour

0 < r < R

n = 0 \sum \infty ∣ a_{n} ∣^{2} r^{2 n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ∣ f (r e^{i θ}) ∣^{2} d θ

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34. $Polynômes proches de f sur le disque$

Soient

B = {z \in C, ∣ z ∣ \leq 1}

f

une fonction continue de

B

dans

C

dont la restriction à

\overset{˚}{B}

est somme d'une série entière. Montrer qu'il existe une suite

(P_{k})_{k \geq 0}

de polynômes convergeant uniformément vers

f

sur

B

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35. $Domaine et équivalents de \sum ln (n) x^{n}$

Soit

I

l'ensemble des réels

x

tels que la série entière

n = 1 \sum + \infty ln (n) x^{n}

converge. On note

f (x)

la somme de cette série entière.

Q1-Déterminer

I

Q2-On pose

a_{1} = - 1

a_{n} = - ln (1 - \frac{1}{n}) - \frac{1}{n}

pour

n \geq 2

. Déterminer le domaine de définition de

g : x \mapsto n = 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

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36. $Équivalent en 1 de \sum x^{n^{2}}$

Donner un équivalent simple quand

x \to 1^{-}

f (x) = n = 0 \sum + \infty x^{n^{2}}

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37. $Rayon de convergence, facteurs ln n et H_{n}$

Q1-Soit

(a_{n})

une suite complexe. On suppose que la série entière

\sum a_{n} x^{n}

a pour rayon de convergence

R

. Déterminer les rayons de convergence de

\sum (a_{n} ln n) x^{n}

\sum (a_{n} k = 1 \sum n \frac{1}{k}) x^{n}

Q2-Donner un équivalent simple de

n = 1 \sum + \infty ln (n) x^{n}

quand

x \to 1^{-}

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38. $Domaine et bord de la série en ln (1 + 1/ n)$

Domaine de définition et étude aux bornes de

n = 1 \sum + \infty ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n}

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39. $Valeur en - 1 de \sum ln (1 + 1/ n) x^{n}$

Q1-Donner l'ensemble de définition de

f (x) = n = 1 \sum + \infty ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n}

Q2-Calculer

f (- 1)

\int_{0}^{1} \frac{( - 1 ) ^{E (1/ x)}}{x} d x

où

E

est la fonction partie entière.

Q3-Donner un équivalent de

f

x = 1

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40. $Continuité et équivalent en - 1 de f$

On pose

a_{n} = \int_{n}^{+ \infty} \frac{tanh t}{t ^{2}} d t

pour

n \in N^{*}

Q1-Étudier la convergence de la série

n = 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

entière pour

x

réel. On note

f (x)

la somme de cette série entière.

Q2-

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1.Rayon de convergence, quatre séries

2.Rayon de convergence de n! et (n2n​)

3.Rayon de convergence, zn2 et sin(n)

4.Rayon et convergence normale

5.Rayon d'une récurrence an+2​=2an+1​−an​

6.Rayon de convergence de πn2+2n​x2n

7.Série des décimales de 3​

8.Rayon de convergence de ∑cos(nα)/nxn

9.Rayon, séries des diviseurs de n

10.Rayon nul d'une série en 1/sin(nπα)

11.Rayon via une semi-convergence en z0​

12.Rayon via n∣an​∣​→ℓ

13.Rayon inchangé par un facteur nα

14.Rayon de convergence de ∑an​z2n

15.Rayon de convergence de ∑an2​zn

16.Rayon de convergence de ∑an​zn/n!

17.Majoration géométrique et rayon de an​/n!

18.Relation entre rayons de an​ et 1/an​

19.Rayon de convergence de an​/(1+∣an​∣)

20.Rayon de ∑(an​+bn​)zn, supports disjoints

21.Équivalent de In​=∫1+∞​e−tndt

22.Intégrale I(p,q)=∫01​tp(1−t)qdt

23.Limite en 1− de ∑(−1)nln(n)xn

24.Bord de convergence, suite an+1​=ln(1+an​)

25.Continuité en −1 de ∑xn/n​

26.Convexité de s(x)=∑xn/n​

27.Limite en 1− de ∑sin(1/n​)xn

28.Identité c(z)2+s(z)2=1 pour deux séries

29.Sous-séries ∑a2n​z2n et ∑a3n​z3n

30.Rayon d'une suite T-périodique

31.Rayon de convergence de an​ et de Sn​

32.Somme nulle sur [0,α] implique S=0

33.Formule de Parseval pour ∑an​zn

34.Polynômes proches de f sur le disque

35.Domaine et équivalents de ∑ln(n)xn

36.Équivalent en 1 de ∑xn2

37.Rayon de convergence, facteurs lnn et Hn​

38.Domaine et bord de la série en ln(1+1/n)

39.Valeur en −1 de ∑ln(1+1/n)xn

40.Continuité et équivalent en −1 de f

1. $Rayon de convergence, quatre séries$

2. $Rayon de convergence de n! et (n 2 n)$

3. $Rayon de convergence, z^{n^{2}} et sin (n)$

4. $Rayon et convergence normale$

5. $Rayon d'une récurrence a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}$

6. $Rayon de convergence de π^{n^{2} + 2 n} x^{2 n}$

7. $Série des décimales de 3$

8. $Rayon de convergence de \sum cos (n α) / n x^{n}$

9. $Rayon, séries des diviseurs de n$

10. $Rayon nul d'une série en 1/ sin (nπ α)$

11. $Rayon via une semi-convergence en z_{0}$

12. $Rayon via n ∣ a_{n} ∣ \to ℓ$

13. $Rayon inchangé par un facteur n^{α}$

14. $Rayon de convergence de \sum a_{n} z^{2 n}$

15. $Rayon de convergence de \sum a_{n}^{2} z^{n}$

16. $Rayon de convergence de \sum a_{n} z^{n} / n!$

17. $Majoration géométrique et rayon de a_{n} / n!$

18. $Relation entre rayons de a_{n} et 1/ a_{n}$

19. $Rayon de convergence de a_{n} / (1 + ∣ a_{n} ∣)$

20. $Rayon de \sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}, supports disjoints$

21. $Équivalent de I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t$

22. $Intégrale I (p, q) = \int_{0}^{1} t^{p} (1 - t)^{q} d t$

23. $Limite en 1^{-} de \sum (- 1)^{n} ln (n) x^{n}$

24. $Bord de convergence, suite a_{n + 1} = ln (1 + a_{n})$

25. $Continuité en - 1 de \sum x^{n} / n$

26. $Convexité de s (x) = \sum x^{n} / n$

27. $Limite en 1^{-} de \sum sin (1/ n) x^{n}$

28. $Identité c (z)^{2} + s (z)^{2} = 1 pour deux séries$

29. $Sous-séries \sum a_{2 n} z^{2 n} et \sum a_{3 n} z^{3 n}$

30. $Rayon d'une suite T -périodique$

31. $Rayon de convergence de a_{n} et de S_{n}$

32. $Somme nulle sur [0, α] implique S = 0$

33. $Formule de Parseval pour \sum a_{n} z^{n}$

34. $Polynômes proches de f sur le disque$

35. $Domaine et équivalents de \sum ln (n) x^{n}$

36. $Équivalent en 1 de \sum x^{n^{2}}$

37. $Rayon de convergence, facteurs ln n et H_{n}$

38. $Domaine et bord de la série en ln (1 + 1/ n)$

39. $Valeur en - 1 de \sum ln (1 + 1/ n) x^{n}$

40. $Continuité et équivalent en - 1 de f$