Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa) (page 6) | The Maths Tailor
Exercices de Séries entières, Spé (prépa) (page 6)
245 exercices de Séries entières pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Généralités, Régularité de la somme, Fonctions développables en série entière et développements usuels.
1. Déterminer le rayon de convergence de n≥1∑(−1)nln(n)xn. On note S(x)=n=1∑+∞(−1)nln(n)xn. 2. Montrer que ∀x∈]−1,1[,S(x)=1+x1n=1∑+∞(−1)n+1ln(1+n1)xn+1 3. En déduire que x→1limS(x)=21n=1∑+∞(−1)n+1ln(1+n1) 4. Déterminer x→1limS(x).
Soient n∈N∑an et n∈N∑bn deux séries convergentes. On suppose que leur produit de Cauchy n∈N∑cn converge. Montrer que (n=0∑+∞an)(n=0∑+∞bn)=n=0∑+∞cn. Remarque. On ne suppose pas que n∈N∑an et n∈N∑bn convergent absolument.
Soit (an) une suite positive telle que la série entière ∑anxn possède un rayon de convergence R>0. On pose f(x)=n=0∑+∞anxn pour x∈]−R,R[ et on suppose que f admet une limite ℓ en R. Montrer que la série ∑anRn converge vers ℓ.
On considère la suite (an) définie par a0=a1=1 et ∀n∈N,an+2=an+1+n+2an.
218.CCINP
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière n∈N∑(3n)!x3n. On note S sa somme. 2. Montrer que S vérifie une équation différentielle du type y′′+y′+y=f où l'on précisera f. 3. Résoudre l'équation différentielle et en déduire S.
On rappelle qu'une involution d'un ensemble E est une application f:E→E telle que f∘f=IdE. On note In le nombre d'involutions de [[1,n]]. On convient que I0=1.
Q1-Montrer que pour tout entier n≥2, In=In−1+(n−1)In−2.
On considère la suite (an)n∈N définie par a0=1 et la relation de récurrence : ∀n∈N,an+1=n+11k=0∑nn−k+2ak.
Q1-En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que : ∀n∈N,0<an≤1.
Q2-On considère la série entière n≥0∑anxn. Justifier que son rayon de convergence est supérieur ou égal à 1. Pour x∈]−1,1[, on pose f(x)=n=0∑+∞anxn.
On pose f(x)=eex pour x∈R. Montrer que f est développable en série entière en 0 et donner les coefficients An de ce développement comme sommes de séries.
Soit q∈]−1,1[. 1. Montrer qu'il existe une unique fonction f continue en 0 telle que f(0)=1 et ∀x∈]−1,1[,f(x)=1+xf(qx) 2. Cette fonction est-elle développable en série entière ? Si oui, quel est son rayon de convergence ?
1. Soit P∈C[X]. Montrer qu'il existe un unique polynôme Q tel que ∀z∈C,Q(z)=e−zn=0∑+∞n!P(n)zn. On notera ce polynôme u(P). 2. Montrer que u est un automorphisme de C[X]. 3. Déterminer les éléments propres de u.
E est un ensemble à n éléments. On appelle dérangement une permutation de E sans point fixe. On note Dn le nombre de dérangements de E. On pose D0=1.
Q1-Montrer l'égalité n!=k=0∑n(kn)Dk.
Q2-On définit f:x↦n=0∑+∞n!Dnxn. Justifier que f est définie sur ]−1,1[.
Q3-Montrer que pour x dans ]−1,1[, f(x)=1−xe−x.
Q4-En déduire l'égalité Dn=n!k=0∑nk!(−1)k.
Q5-Montrer que, lorsque n∈N∗, Dn est la partie entière de en!+21.
On cherche à résoudre l'équation (E) ∀x∈R+,u(x)=1+∫0xu(2t)dt avec u∈C0(R+,R).
Q1-Soit la suite (un) de fonctions définie par u0=1 et, pour tout n∈N, ∀x∈R+,un+1(x)=1+∫0xun(2t)dt. Montrer par récurrence que, ∀x∈R+,0≤un+1(x)−un(x)≤(n+1)!xn+1. En déduire que la suite (un) converge vers une certaine fonction u.
Q2-Montrer que le rayon de convergence de la série entière ∑n!Inxn est supérieur ou égal à 1. On note S(x) sa somme.
Q3-Montrer que ∀x∈]−1,1[,S′(x)=(1+x)S(x).
Q4-En déduire une expression de S(x) puis de In.
Q3-a. Déterminer le rayon de convergence de la série entière n≥0∑n+2xn. b. Déterminer l'ensemble réel de définition de la fonction x↦n=0∑+∞n+2xn. c. On pose, lorsque cela est possible, (n=0∑+∞anxn)(n=0∑+∞n+2xn)=n=0∑+∞wnxn, produit de Cauchy réel des deux séries n≥0∑anxn et n≥0∑n+2xn. Justifier que le rayon de convergence de la série entière n≥0∑wnxn est supérieur ou égal à 1 et donner pour tout entier naturel n, une expression de wn à l'aide de la suite (an). d. En déduire que l'on a pour tout x∈]−1,1[,f′(x)=f(x)n=0∑+∞n+2xn.
Q4-Démontrer alors que pour tout x∈[0,1[,ln(f(x))=n=0∑+∞(n+1)(n+2)xn+1.
Q5-En déduire, pour tout x∈[0,1[, une expression de f(x) à l'aide de fonctions usuelles. On utilisera sans le redémontrer que l'on a : (n+1)(n+2)1=n+11−n+21.
Q6-Justifier que la série n≥0∑2nan converge et calculer sa somme.
Q2-En déduire un équivalent de p(n).
Q3-Soient r∈]0,1[ et n∈N∗. Calculer en fonction de r et n l'intégrale In(r)=∫0πIm(f(reiθ))sin(nθ)dθ.
Q4-En remarquant que ∣sin(nθ)∣≤nsin(θ) pour θ∈[0,π], montrer que ∣an∣≤n pour tout n∈N∗.
Q2-Montrer que u est solution de (E).
Q3-Donner les fonctions développables en série entière dont la restriction à R+ est solution de (E).
Q3-Étudier la convergence normale de ∑fn sur [0,1].
Q4-Étudier la convergence uniforme de ∑fn sur [0,1].
Q5-Quelle est la nature de la série ∑un, avec un=∫01n+1(t2−1)n+1dt ?
Q6-Calculer n=0∑+∞un.
Q2-Que dire de deux séries entières f et g de même rayon de convergence R et telles que f(zp)=g(zp) pour tout p∈N ?
