Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa) (page 7)

241. $Banque Mines-Ponts MP 2021$

On suppose qu'il existe une partie

A

N

telle que

n \in A \sum \frac{x ^{n}}{n !} \sim_{x \to + \infty} \frac{e ^{x}}{x ^{2}}

Soit

n \in N \sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon de convergence

R

. On munit

M_{d} (C)

d'une norme d'opérateur

∥ \cdot ∥

. Montrer que l'application

φ : A \in M_{d} (C) \mapsto \sum a_{n} A^{n}

est continue sur la boule

B = {A \in M_{d} (C), ∥ A ∥ < R}

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Soit

α \in] - 1, 1 [

. Pour

x \in R

n \in N^{*}

, on pose

w_{n} (x) = \frac{α ^{n}}{n} cos n x

. Soit

W : x \mapsto n = 1 \sum + \infty w_{n} (x)

Q1-Montrer que

W

est de classe

C^{1}

sur

R

; exprimer

W^{'}

à l'aide des fonctions usuelles.

Q2-Calculer

\int_{- π}^{π} ln (1 - 2 α cos x + α^{2}) d x

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Soit

(a_{n}) \in {- 1, 1}^{N}

. On note

f (z) = n = 0 \sum + \infty a_{n} \frac{x ^{n}}{n !}

pour

x \in R

. On suppose que pour tout

x \in R_{+}

et tout

k \in N

∣ f^{(k)} (x) ∣ \leq 1

Q1-Montrer que pour tout

n \in N

a_{n} a_{n + 1} < 0

Q2-En déduire un expression de

f

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Soit

f

une fonction développable en série entière de rayon de convergence infini. On note

f (z) = k = 0 \sum + \infty a_{k} z^{k}

pour tout

z \in C

Q1-Montrer que

\forall r \in R_{+}, \forall n \in N, \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (r e^{i t}) e^{- in t} d t = a_{n} r^{n}

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