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Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa) (page 3) | The Maths Tailor

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Exercices de Séries entières, Spé (prépa) (page 3)

245 exercices de Séries entières pour les maths Spé (prépa), avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Généralités, Régularité de la somme, Fonctions développables en série entière et développements usuels.

Le cours du chapitre Les méthodes du chapitre

Exercices 81 à 120 sur 245 · page 3 sur 7

81.

Développement en série entière de e^{x^{2} /2} \int_{0}^{x} e^{- t^{2} /2} d t

Q1-Étudier la parité de

f : x \mapsto e^{x^{2} /2} \int_{0}^{x} e^{- t^{2} /2} d t

.

Q2-Montrer que

f

est solution d'une équation différentielle à déterminer.

Q3-Justifier que

f

est développable en série entière et donner ce développement.

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82. $Développement en série entière de \int_{1}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{x + t} d t$

Q1-Former une équation différentielle vérifiée par

f : x > - 1 \mapsto \int_{1}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{x + t} d t

.

83. $Développement en série entière de cosh x cos x$

Développer

f (x) = cosh (x) cos (x)

en série entière en l'exprimant à l'aide de fonctions exponentielles. Retrouver le résultat en remarquant que

f

est solution de l'équation différentielle

y^{(4)} + 4 y = 0

.

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84. $Développement en série entière de \int_{0}^{1} t^{k} sin (x t) d t$

Soient

k > 0

et

f (x) = \int_{0}^{1} t^{k} sin (x t) d t

.

Q1-Montrer que

f

est continue sur

R

.

Q2-Montrer que

f

est dérivable sur

R

et vérifie

\forall x \in R, x f^{'} (x) + (k + 1) f (x) = sin x

.

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85. $Solution développable de t y^{'} + y = 3 t^{2} cos (t^{3/2})$

On considère l'équation différentielle

(E) : t y^{'} + y = 3 t^{2} cos (t^{3/2})

.

Q1-Montrer qu'il existe une unique solution

v

de

(E)

développable en série entière sur un voisinage de

0

.

Q2-Trouver l'ensemble des solutions de

(E)

sur

R_{+}^{*}

et en déduire une expression plus simple de

v

.

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86. $Intervalle et somme de \sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{n}}{n ( n - 1 )}$

Soit

f : x \mapsto n = 2 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ( n - 1 )} x^{n}

.

Q1-Déterminer l'intervalle de convergence de

f

.

Q2-Exprimer la fonction

f

à l'aide des fonctions usuelles sur

] - 1; 1 [

.

Q3-Calculer

f (1)

et

f (- 1)

.

Voir le corrigéMasquer le corrigé

(a)

Notons

D

l'intervalle de convergence de cette série entière. Le rayon de convergence étant

1

, on en déduit :

] - 1; 1 [\subset D \subset [- 1; 1]

. De plus

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ( n - 1 )} \sim \frac{1}{n ^{2}}

donc

f (1)

et

f (- 1)

existent. Ainsi

D = [- 1; 1]

.

(b)

Sur

] - 1; 1 [

,

f

est de classe

C^{\infty}

et

f^{'} (x) = n = 2 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n - 1} x^{n - 1} = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} x^{n} = ln (1 + x) .

Donc

\int ln (1 + x) d x = (1 + x) ln (1 + x) - x + C .

Puisque

f (0) = 0

, on conclut

f (x) = (1 + x) ln (1 + x) - x

sur

] - 1; 1 [

.

(c)

\forall x \in [- 1; 1]

,

\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ( n - 1 )} x^{n} \leq \frac{1}{n ( n - 1 )} \sim \frac{1}{n ^{2}}

donc la série de fonctions définissant

f

converge normalement sur

[- 1; 1]

et par suite

f

est continue.

f (1) = x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim ((1 + x) ln (1 + x) - x) = 2 ln 2 - 1

et

f (- 1) = x \to - 1^{+} lim f (x) = x \to - 1^{+} lim ((1 + x) ln (1 + x) - x) = 1.

87. $Rayon de convergence et somme de (n - 1) / n!$

Rayon de convergence et somme de

n \geq 0 \sum \frac{n - 1}{n !} x^{n}

.

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88. $Rayon de convergence et somme de (n + 1) (n - 2) / n!$

Rayon de convergence et somme de

n \geq 0 \sum \frac{( n + 1 ) ( n - 2 )}{n !} x^{n}

.

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89. $Rayon de convergence et somme de \sum (- 1)^{n + 1} n x^{2 n + 1}$

Rayon de convergence et somme de

n \geq 0 \sum (- 1)^{n + 1} n x^{2 n + 1}

.

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90. $Rayon de convergence et somme de x^{2 n + 1} / (3 n + 2)$

Rayon de convergence et somme de

n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{2 n + 1}}{3 n + 2}

.

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91. $Rayon de convergence et somme de x^{2 n} / (2 n + 1)$

Rayon de convergence et somme de

n \geq 0 \sum \frac{x ^{2 n}}{2 n + 1}

.

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92. $Rayon de convergence et somme de x^{2 n} / (4 n^{2} - 1)$

Rayon de convergence et somme de

n \geq 0 \sum \frac{x ^{2 n}}{4 n ^{2} - 1}

.

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93. $Suite intégrale de tan^{n}, série et somme$

Pour

n > 0

, on pose

a_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} t d t

.

Q1-Trouver la limite de

(a_{n})

.

Q2-Trouver une relation simple entre

a_{n + 2}

et

a_{n}

.

Q3-On pose

u_{n} (x) = a_{n} n^{α} x^{n}

. Donner la nature de la série de terme général

u_{n} (x)

en fonction de

x

et de

α

.

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94. $Rayon de convergence et somme de \sum a_{n} x^{n}$

Soit

(a_{n})

la suite définie par

a_{0} = 1

et

a_{n} = \frac{1}{n !} \int_{0}^{1} k = 0 \prod n - 1 (t - k) d t

pour

n \in N^{*}

.

Q1-Rayon de convergence de

\sum a_{n} x^{n}

.

Q2-Somme de

\sum a_{n} x^{n}

.

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95. $Rayon de convergence et somme de \sum \frac{n !}{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )} x^{n}$

Q1-Déterminer le rayon de convergence

R

de

n \geq 0 \sum \frac{n !}{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )} x^{n}

.

Q2-Pour

x \in] - R; R [

, calculer la somme précédente.

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96. $Étude et somme de la série \sum n (- 1)^{n} x^{n}$

Étude et expression de la série

n = 0 \sum + \infty n (- 1)^{n} x^{n}

.

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97. $Calcul de S_{0} par découpage mod 3$

Calculer

S_{0} (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{3 n}}{( 3 n )!}

(on pourra calculer

S_{k} (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{3 n + k}}{( 3 n + k )!}

pour

k \in {0, 1, 2}

).

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98. $Produit de Cauchy, séries entières$

Soient

\sum a_{n} x^{n}

et

\sum b_{n} x^{n}

deux séries entières de rayons de convergence

R

et

R^{'}

.

Q1-Déterminer le rayon de convergence et la somme de

\sum c_{n} x^{n}

avec

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}

.

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99. $Rayon et somme en sinh n$

Trouver le rayon de convergence de

n \geq 1 \sum \frac{sinh n}{n ( n + 1 )} x^{n}

. Calculer la somme dans le bon intervalle.

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100. $Rayon et somme via \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t)^{n} d t$

Calculer

a_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t)^{n} d t

pour

n \in N^{*}

. Calculer le rayon de convergence de la série entière

\sum a_{n} x^{n}

. Calculer la somme de cette série entière sur l'intervalle ouvert de convergence.

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101. $Intégrale a_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} t d t et DSE$

Pour

n \geq 0

, on pose

a_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} t d t

.

Q1-Trouver la limite de la suite

(a_{n})

.

Q2-Donner une relation simple entre

a_{n + 2}

et

a_{n}

.

Q3-On pose

f (x)

la somme de la série entière

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

. Déterminer l'intervalle de définition de

f

.

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102. $Série entière de cos (n θ)$

On pose

\forall θ \in R, \forall n \in N, a_{n} = cos (n θ)

.

Q1-Calculer

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

pour tout

x \in] - 1; 1 [

.

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103. $Récurrence convolutive et a_{n} / n!$

On pose

a_{0} = 1

puis pour tout

n \in N

,

a_{n + 1} = k = 0 \sum n (k n) a_{n - k} a_{k}

. Calculer les

a_{n}

en utilisant la série entière de terme général

\frac{a _{n}}{n !} x^{n}

.

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104. $DSE et suite récurrente d'ordre 3$

Q1-Former le développement en série entière en

0

de

x \mapsto \frac{1}{( 1 - x ) ( 1 - x ^{2} )}

.

Q2-Soit

(u_{n}) \in C^{N}

vérifiant

\forall n \in N, u_{n + 3} = u_{n + 2} + u_{n + 1} - u_{n}

. Exprimer le terme général de la suite

(u_{n})

en fonction de ses premiers termes.

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105. $Nombres de Catalan et équivalent$

On pose

a_{0} = 1

et pour tout

n \in N

,

Nombres de Catalan et équivalent

.

Q1-Donner une formule permettant de calculer

S (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

.

Q2-Calculer

S (x)

.

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106. $Dérangements, fonction génératrice$

On note

N (n, p)

le nombre de permutations de

[[1; n]]

qui ont exactement

p

points fixes. On pose en particulier

D (n) = N (n, 0)

, puis

f (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{D ( n )}{n !} x^{n}

.

Q1-Relier

N (n, p)

et

D (n - p)

.

Q2-Justifier la définition de

f

sur

] - 1; 1 [

puis calculer

D (n - p)

.

Q3-Calculer

N (n, p)

.

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107. $Prolongement C^{\infty} de sin (x) / x$

Q1-Montrer que la fonction

x \mapsto \frac{sin x}{x}

se prolonge en une fonction de classe

C^{\infty}

sur

R

.

Q2-Montrer qu'il en est de même de la fonction

x \mapsto \frac{sin x}{e ^{x} - 1}

.

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108. $Prolongement et DSE de \int_{x}^{2 x} \frac{c o s t}{t} d t$

Pour

x \neq = 0

, on pose

f (x) = \int_{x}^{2 x} \frac{cos t}{t} d t

.

Q1-Montrer que

f

peut être prolongée par continuité en

0

.

Q2-Montrer que ce prolongement est développable en série entière sur

R

.

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109. $Intégrale \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{a}} en série$

Montrer que pour tout

a > 0

,

\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{a}} = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{na + 1}

. En déduire les sommes

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}

et

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}

.

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110. $Constante d'Euler et fonction zêta$

Q1-On note

γ

la constante d'Euler. Établir l'égalité

γ = n = 1 \sum + \infty (\frac{1}{n} - ln (1 + \frac{1}{n}))

.

Q2-En déduire que

γ = k = 2 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} ζ (k)

.

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111. $Calcul de \sum \frac{1}{( 3 n + 2 ) 3 ^{n}}$

Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 3 n + 2 ) \times 3 ^{n}}

.

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112. $Intégrale \int_{0}^{1} \frac{l n ( 1 + x )}{x} d x en série$

Montrer

\int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + x )}{x} d x = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

.

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113. $Série \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )} et arctan$

Montrer

n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 )} = \int_{0}^{1} arctan x d x

. En déduire la valeur de cette somme.

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114. $Intégrale de ln (1 + x sin^{2} t) / sin^{2} t$

Observer que pour tout

x \in] - 1; 1 [

,

\int_{0}^{π /2} \frac{ln ( 1 + x sin ^{2} t )}{sin ^{2} t} d t = π (1 + x - 1)

.

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115. $Limites de \int n t^{n} f (t) d t et variantes$

Soit

f : [0; 1] \to R

une fonction continue.

Q1-Déterminer la limite de la suite de terme général

u_{n} = \int_{0}^{1} n t^{n} f (t) d t

.

Q2-Déterminer la limite de

v_{n} = \int_{0}^{1} n ln (1 + t^{n}) f (t) d t

.

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116. $Limite de I_{n} = n \int_{0}^{1} ln (1 + t^{n}) d t$

Étudier la limite de la suite de terme général

I_{n} = n \int_{0}^{1} ln (1 + t^{n}) d t

.

117. $DSE, produit par e^{- t} et intégrale$

Montrer que

g : t \mapsto n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n} t ^{n}}{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}}

est de classe

C^{\infty}

sur

R

. En déduire que

h : t \mapsto g (t) e^{- t}

est de classe

C^{\infty}

sur

h : t \mapsto g (t) e^{- t}

. Montrer que

\int_{0}^{+ \infty} h (t) d t

existe et calculer son intégrale.

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118. $Fonctions DSE réelles sur un cercle$

On considère une série entière complexe

n \geq 0 \sum a_{n} z^{n}

de rayon de convergence

R > 0

. On note

f

sa somme définie pour

∣ z ∣ < R

par

f (z) = n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n}

.

Q1-Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière et montrer que

n \geq 0 \sum a_{n} z^{n}

converge normalement sur le disque

D (0, r) = {z \in C, ∣ z ∣ \leq r}

si

0 < r < R

.

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119. $Convergence de \int_{0}^{a} \frac{x + l n ( 1 - x )}{x ^{2}} d x$

Q1-Montrer que, pour tout

a \in] 0; 1 [

, l'intégrale suivante converge :

\int_{0}^{a} \frac{x + ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x

.

120. $Décomposition en éléments simples$

Q1-Déterminer la décomposition en éléments simples de

\frac{1}{( X + 1 ) ^{m} ( X - 1 ) ^{n}}

avec

m, n

deux entiers non nuls.

Q2-Déterminer deux polynômes

U

et

V

tels que

(X + 1)^{m} U (X) + (X - 1)^{n} V (X) = 1

.

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Q2-En déduire le développement en série entière en

0

de

f

.

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Q3-Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en

0

solutions de

x y^{'} + (k + 1) y = sin x

en précisant le rayon de convergence.

Q4-On pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

. Exprimer

f

à l'aide des fonctions usuelles.

Q2-Déterminer le rayon de convergence et la somme de

n \geq 1 \sum (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}) x^{n}

.

Q4-Exprimer

f

à l'aide des fonctions usuelles.

Q2-Montrer que pour tout

θ \neq = k π

, la série

\sum \frac{a _{n}}{n + 1}

converge et exprimer sa somme à l'aide d'une intégrale.

Q3-Calculer cette intégrale pour

θ \in] 0; π [

.

Q3-Calculer les

a_{n}

.

Q4-Donner un équivalent de la suite

(a_{n})

.

Q4-Étudier la limite de

(\frac{1}{n !} N (n, p))

quand

n

tend vers

+ \infty

.

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Q2-Soit

r

un réel tel que

0 < r < R

. Montrer que la fonction

z \mapsto \int_{0}^{2 π} \frac{Im ( f ( r e ^{i θ} ))}{r - z e ^{- i θ}} d θ

est développable en série entière et exprimer la somme de cette série entière en fonction de

f (z)

et de

f (0)

.

Q3-Déterminer les fonctions

f

, développables en série entière sur

D (0, R)

, et qui ne prennent que des valeurs réelles sur un ensemble de la forme

{z \in C, ∣ z ∣ = r}

pour

f

.

Q2-Justifier que, pour tout

a \in] 0; 1 [

,

\int_{0}^{a} \frac{x + ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x = - n = 1 \sum + \infty \frac{a ^{n}}{n ( n + 1 )}

.

Q3-En déduire la convergence et la valeur de

\int_{0}^{1} \frac{x + ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x

.

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