Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa) (page 2)

42. $Somme bornée, coefficients positifs$

Soit

\sum a_{n} x^{n}

une série entière de rayon de convergence

R = 1

avec

\forall n \in N, a_{n} \geq 0

. Pour

x \in] - 1; 1 [

, on pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

et on suppose que la fonction

S

est bornée.

Q1-Montrer que la série

\sum a_{n}

est convergente.

Q2-Montrer que

x \to 1^{-} lim S (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n}

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43. $Continuité en 1 sous convergence de \sum a_{n}$

Soit

\sum a_{n} x^{n}

une série entière de rayon de convergence

R = 1

et de somme

x \in] - 1; 1 [\mapsto f (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

. On suppose que la série numérique

\sum a_{n}

converge. Montrer que la fonction

f

est définie et continue en

1

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44. $Théorème de Tauber, limite au bord$

Soit

f

la fonction somme dans le domaine réel d'une série entière

\sum a_{n} x^{n}

de rayon de convergence

R = 1

. On suppose l'existence d'un réel

ℓ = x \to 1^{-} lim f (x)

Q1-Peut-on affirmer que la série numérique

\sum a_{n}

converge et que sa somme vaut

ℓ

Q2-Que dire si l'on sait de plus

a_{n} = o (1/ n)

? [Théorème de Tauber]

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45. $Comparaison o et \sim au bord du rayon$

Soient

\sum a_{n} x^{n}

\sum b_{n} x^{n}

deux séries entières de sommes respectives

f (x)

g (x)

avec pour tout

n \in N

b_{n} > 0

. On suppose que le rayon de convergence de

\sum b_{n} x^{n}

est

R

et que cette série diverge en

R

Q1-On suppose que

a_{n} = o (b_{n})

. Montrer que

f (x) = o (g (x))

quand

x \to R^{-}

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46. $Rayon de \sum x^{p_{n}} et limite en 1$

Soit

(p_{n})

une suite strictement croissante d'entiers naturels telle que

n = o (p_{n})

. On pose

f (x) = n = 0 \sum + \infty x^{p_{n}}

Q1-Donner le rayon de convergence de la série entière

\sum x^{p_{n}}

et étudier la limite de

(1 - x) f (x)

quand

x

tend vers

1

par valeurs inférieures.

Q2-Ici

p_{n} = n^{q}

avec

q \in N

q \geq 2

. Donner un équivalent simple de

f

1

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47. $Équivalent au bord de \sum n^{α} x^{n}$

Soit

α > - 1

. On désire trouver un équivalent de

f_{α} (x) = n = 1 \sum + \infty n^{α} x^{n}

lorsque

x \to R^{-}

Q1-Donner le rayon de convergence

R

f_{α}

Q2-On suppose que

α

est un entier

p

. Calculer

f_{0}

f_{1}

. Montrer qu'il existe

Q_{p} \in R [X]

tel que

f_{p} (x) = \frac{Q _{p} ( x )}{( 1 - x ) ^{p + 1}}

. En déduire l'équivalent recherché.

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48. $Comparaison \sum ln (n) x^{n} et \sum ln (1 - 1/ n) x^{n}$

On pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty (ln n) x^{n}

g (x) = n = 2 \sum + \infty ln (1 - \frac{1}{n}) x^{n}

Q1-Déterminer les rayons de convergence de

f

et de

g

Q2-Montrer que

g

est définie et continue sur

[- 1; 1 [

Q3-Trouver une relation entre

(1 - x) f (x)

g (x)

pour

x \in] - 1; 1 [

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49. $Série de Taylor, dérivées positives$

Soit

f :] - R; R [\to R

(avec

R > 0

) de classe

C^{\infty}

vérifiant

\forall n \in N, \forall x \in [0; R [, f^{(n)} (x) \geq 0

. Montrer la convergence de la série

\sum \frac{1}{n !} f^{(n)} (0) x^{n}

pour tout

x \in] - R; R [

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50. $Fonction égale à sa série de Taylor$

Soient

a > 0

f :] - a; a [\to R

de classe

C^{\infty}

telle que

f^{(n)} \geq 0

pour tout

n \in N

. Montrer que

f

est égale à la somme de sa série de Taylor en

0

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51. $Monotonie absolue et série entière$

(Fonction absolument monotone) Soit

f : R \to R

de classe

C^{\infty}

telle que

f^{(n)} \geq 0

pour tout

n \in N

. Montrer que

f

est développable en série entière en

0

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52. $Développement en série entière de x^{2} + x + 1$

Montrer que la fonction

f : x \mapsto x^{2} + x + 1

admet un développement en série entière de rayon de convergence

R \geq 1

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53. $Développement en série entière de 1/ (1 - sinh x)$

Établir que la fonction

x \mapsto \frac{1}{1 - sinh x}

est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.

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54. $Rayon de Taylor nul pour \sum cos (2^{n} x) / n!$

Pour

x \in R

, on pose

f (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{cos ( 2 ^{n} x )}{n !}

Q1-Montrer que la fonction

f

est définie et de classe

C^{\infty}

sur

R

Q2-Observer que le rayon de convergence de sa série de Taylor en

0

est nul.

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55. $Développement en série entière de \sum a_{n} / (n - t)$

Étant donné une suite complexe

(a_{n})_{n \in N^{*}}

de carré sommable, on pose

f (t) = n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{n - t}

où la variable

t

est réelle.

Q1-Préciser le domaine de définition de

f

Q2-Montrer que

f

est développable en série entière autour de

0

Q3-Montrer que si

f

est identiquement nulle sur

[- 1/2; 1/2]

, la suite

(a_{n})_{n \in N^{*}}

est identiquement nulle.

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56. $Développement en série entière de \sum sin (a^{n} x)$

Soit

a \in] - 1; 1 [

. On pose

f (x) = n = 0 \sum + \infty sin (a^{n} x)

Q1-Montrer que

f

est définie sur

R

Q2-Montrer que

f

est de classe

C^{\infty}

et que pour tout

k \in N^{*}

et tout

x \in R

∣ f^{(k)} (x) ∣ \leq \frac{1}{1 - ∣ a ∣}

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57. $Développement en série entière de ln (x^{2} + x + 1)$

Former le développement en série entière en

0

de la fonction

x \mapsto ln (x^{2} + x + 1)

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58. $Coefficients du développement de 1/ ((1 - a x) (1 - b x))$

Soient

a, b > 0

avec

a \neq = b

. Calculer

c_{n}

, le

n

-ième coefficient du développement en série entière en

0

x \mapsto \frac{1}{( 1 - a x ) ( 1 - b x )}

. Exprimer

n = 0 \sum + \infty c_{n}^{2} x^{n}

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59. $Développement en série entière de \frac{1 - z c o s t}{1 - 2 z c o s t + z ^{2}}$

Former le développement en série entière de

\frac{1 - z cos t}{1 - 2 z cos t + z ^{2}}

pour

∣ z ∣ < 1

t \in] 0; π [

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60. $Développement en série entière de (1 + x) / (1 - x)$

Former le développement en série entière de

f : x \mapsto \frac{1 + x}{1 - x}

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61. $Développement en série entière de \int_{1}^{+ \infty} d t / (t^{2} + x^{2})$

Réaliser le développement en série entière en

0

x \mapsto \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2} + x ^{2}}

et reconnaître cette fonction.

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62. $Développement en série entière de \int e^{i t x} f (t) d t$

Q1-Montrer, si

t \in R

e^{i t} - k = 0 \sum n \frac{( i t ) ^{k}}{k !} \leq \frac{∣ t ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

Q2-Soit

f \in C^{0} (R, R)

telle que

(\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ t^{n} f (t) ∣ d t)_{n \geq 0}

soit bornée. Montrer que

F : x \mapsto \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i t x} f (t) d t

est développable en série entière en

0

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63. $Développement en série entière de \int_{0}^{π /2} \frac{d θ}{1 - x ^{2} s i n ^{2} θ}$

Pour

x \in] - 1; 1 [

, on pose

f (x) = \int_{0}^{π /2} \frac{d θ}{1 - x ^{2} sin ^{2} θ}

64. $Développement en série entière de \int d t / (x + e^{t})$

Q1-Pour quel réel

x

, l'intégrale

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{x + e ^{t}}

existe-t-elle ?

Q2-Donner alors sa valeur.

Q3-Montrer que

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{x + e ^{t}}

est développable en série entière et exprimer ce développement.

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65. $Développement en série entière de \sum a^{n} / (x + n)$

Q1-Quel est le domaine de définition de

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{a ^{n}}{x + n}

pour

a \in] - 1; 1 [

Q2-Déterminer la limite et un équivalent de

S

+ \infty

Q3-Développer en série entière

S (x) - \frac{1}{x}

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66. $Développement en série entière de \sum sinh (α^{n} x)$

Pour

α \in [0; 1 [

x \in R

, on pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty sinh (α^{n} x)

Q1-Montrer que la fonction

S

est définie et continue sur

R

Q2-Former une relation engageant

S (α x)

S (x)

Q3-Établir que la fonction

S

est développable en série entière sur

R

et exprimer ce développement.

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67. $Développement en série entière de 1/ (x - a)^{p + 1}$

Soient

a \in C^{*}

p \in N

. Former le développement en série entière de

x \mapsto \frac{1}{( x - a ) ^{p + 1}}

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68. $Développement en série entière de P (x) = \prod (1 - α^{k} x)$

Soit

α \in] - 1; 1 [

Q1-Montrer, pour tout

x \in R

, la convergence de la suite de terme général

P_{n} (x) = k = 0 \prod n (1 - α^{k} x)

vers une limite que l'on notera

P (x)

Q2-Soit

f : R \to R

continue vérifiant l'équation fonctionnelle

(E) : \forall x \in R, f (x) = (1 - x) f (α x)

. Montrer, pour tout

x \in R

f (x) = f (0) P (x)

Q3-Montrer que la fonction

x \mapsto P (x)

est développable en série entière sur

R

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69. $Développement en série entière de f (z) = lim P_{n} (z)$

Pour

z \in C

n \in N

, on pose

P_{n} (z) = k = 0 \prod n (1 - \frac{z}{2 ^{k}})

Q1-Montrer que

∣ P_{n} (z) ∣ \leq P_{n} (- ∣ z ∣)

. En déduire que la suite

(P_{n} (z))_{n \in N}

est bornée.

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70. $Développement en série entière de ln ∣ x^{2} - 5 x + 6∣$

Former le développement en série entière en

0

de la fonction

x \mapsto ln ∣ x^{2} - 5 x + 6∣

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71. $Développement en série entière de \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t ^{2}}$

Développer en série entière

x \mapsto \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t ^{2}}

72. $Développement en série entière de arctan (x - \frac{1}{t a n θ})$

Soit

x \in R

θ \in] 0; π /2 [

Q1-Calculer la partie imaginaire du complexe

\frac{sin θ e ^{i θ}}{1 - x sin θ e ^{i θ}}

Q2-En déduire le développement en série entière de

f (x) = arctan (x - \frac{1}{tan θ})

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73. $Développement en série entière de arctan (1 + x)$

Montrer que

f (x) = arctan (1 + x)

est développable en série entière au voisinage de

0

et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.

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74. $Somme trigonométrique égale à un arctan$

Pour

x \in] - 1; 1 [

α \in R

, établir

n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n} sin (n α) = arctan (\frac{x sin α}{1 - x cos α}) .

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75. $Rayon et somme des coefficients (p n + p)$

Soient

p \in N

f (x) = n = 0 \sum + \infty (p n + p) x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.

Q2-Calculer

f (x)

en étudiant

(1 - x) f^{'} (x)

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76. $Développement en série entière de \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} sin (t x) d t$

Former le développement en série entière en

0

x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} sin (t x) d t

Q1-En procédant à une intégration terme à terme, établir ce développement en série entière.

Q2-En déterminant une équation différentielle vérifiée par

f : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} sin (t x) d t

, retrouver ce développement.

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77. $Développement en série entière de x + 1 + x^{2}$

Développer en série entière

f : x \mapsto x + 1 + x^{2}

au voisinage de

0

78. $Développement en série entière de \frac{a r c s i n x}{1 - x ^{2}}$

Q1-Quel est l'ensemble de définition de

f (x) = \frac{arcsin x}{1 - x ^{2}}

79. $Développement en série entière de arccos x / 1 - x^{2}$

Former le développement en série entière en

0

de la fonction

f : x \mapsto \frac{arccos x}{1 - x ^{2}}

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80. $Développement en série entière de sinh (arcsin x)$

Former le développement en série entière en

0

x \mapsto sinh (arcsin x)

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41.

42.Somme bornée, coefficients positifs

43.Continuité en 1 sous convergence de ∑an​

44.Théorème de Tauber, limite au bord

45.Comparaison o et ∼ au bord du rayon

46.Rayon de ∑xpn​ et limite en 1

47.Équivalent au bord de ∑nαxn

48.Comparaison ∑ln(n)xn et ∑ln(1−1/n)xn

49.Série de Taylor, dérivées positives

50.Fonction égale à sa série de Taylor

51.Monotonie absolue et série entière

52.Développement en série entière de x2+x+1​

53.Développement en série entière de 1/(1−sinhx)

54.Rayon de Taylor nul pour ∑cos(2nx)/n!

55.Développement en série entière de ∑an​/(n−t)

56.Développement en série entière de ∑sin(anx)

57.Développement en série entière de ln(x2+x+1)

58.Coefficients du développement de 1/((1−ax)(1−bx))

59.Développement en série entière de 1−2zcost+z21−zcost​

60.Développement en série entière de (1+x)/(1−x)​

61.Développement en série entière de ∫1+∞​dt/(t2+x2)

62.Développement en série entière de ∫eitxf(t)dt

63.Développement en série entière de ∫0π/2​1−x2sin2θ​dθ​

64.Développement en série entière de ∫dt/(x+et)

65.Développement en série entière de ∑an/(x+n)

66.Développement en série entière de ∑sinh(αnx)

67.Développement en série entière de 1/(x−a)p+1

68.Développement en série entière de P(x)=∏(1−αkx)

69.Développement en série entière de f(z)=limPn​(z)

70.Développement en série entière de ln∣x2−5x+6∣

71.Développement en série entière de ∫−∞x​1+t+t2dt​

72.Développement en série entière de arctan(x−tanθ1​)

73.Développement en série entière de arctan(1+x)

74.Somme trigonométrique égale à un arctan

75.Rayon et somme des coefficients (pn+p​)

76.Développement en série entière de ∫0+∞​e−t2sin(tx)dt

77.Développement en série entière de x+1+x2​​

78.Développement en série entière de 1−x2​arcsinx​

79.Développement en série entière de arccosx/1−x2​

80.Développement en série entière de sinh(arcsinx)

42. $Somme bornée, coefficients positifs$

43. $Continuité en 1 sous convergence de \sum a_{n}$

44. $Théorème de Tauber, limite au bord$

45. $Comparaison o et \sim au bord du rayon$

46. $Rayon de \sum x^{p_{n}} et limite en 1$

47. $Équivalent au bord de \sum n^{α} x^{n}$

48. $Comparaison \sum ln (n) x^{n} et \sum ln (1 - 1/ n) x^{n}$

49. $Série de Taylor, dérivées positives$

50. $Fonction égale à sa série de Taylor$

51. $Monotonie absolue et série entière$

52. $Développement en série entière de x^{2} + x + 1$

53. $Développement en série entière de 1/ (1 - sinh x)$

54. $Rayon de Taylor nul pour \sum cos (2^{n} x) / n!$

55. $Développement en série entière de \sum a_{n} / (n - t)$

56. $Développement en série entière de \sum sin (a^{n} x)$

57. $Développement en série entière de ln (x^{2} + x + 1)$

58. $Coefficients du développement de 1/ ((1 - a x) (1 - b x))$

59. $Développement en série entière de \frac{1 - z c o s t}{1 - 2 z c o s t + z ^{2}}$

60. $Développement en série entière de (1 + x) / (1 - x)$

61. $Développement en série entière de \int_{1}^{+ \infty} d t / (t^{2} + x^{2})$

62. $Développement en série entière de \int e^{i t x} f (t) d t$

63. $Développement en série entière de \int_{0}^{π /2} \frac{d θ}{1 - x ^{2} s i n ^{2} θ}$

64. $Développement en série entière de \int d t / (x + e^{t})$

65. $Développement en série entière de \sum a^{n} / (x + n)$

66. $Développement en série entière de \sum sinh (α^{n} x)$

67. $Développement en série entière de 1/ (x - a)^{p + 1}$

68. $Développement en série entière de P (x) = \prod (1 - α^{k} x)$

69. $Développement en série entière de f (z) = lim P_{n} (z)$

70. $Développement en série entière de ln ∣ x^{2} - 5 x + 6∣$

71. $Développement en série entière de \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t ^{2}}$

72. $Développement en série entière de arctan (x - \frac{1}{t a n θ})$

73. $Développement en série entière de arctan (1 + x)$

74. $Somme trigonométrique égale à un arctan$

75. $Rayon et somme des coefficients (p n + p)$

76. $Développement en série entière de \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} sin (t x) d t$

77. $Développement en série entière de x + 1 + x^{2}$

78. $Développement en série entière de \frac{a r c s i n x}{1 - x ^{2}}$

79. $Développement en série entière de arccos x / 1 - x^{2}$

80. $Développement en série entière de sinh (arcsin x)$