Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa) (page 4)

122. $DSE de 1 + x et racine nilpotente$

Soit

S (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

le développement en série entière de

x \mapsto 1 + x

Q1-Pour

N \in N

, on pose

S_{N} = n = 0 \sum N a_{n} x^{n}

R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

. Montrer que

(S_{N} (x))^{2} - 1 - x

est un polynôme dont la plus petite puissance de

x

est de degré

\geq N + 1

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123. $Formule de Chu-Vandermonde$

(Formule de Chu-Vandermonde) Pour

α \in R

, on pose

\forall n \in N, (n α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !}

. Établir

\forall a, b \in R, k = 0 \sum n (k a) (n - k b) = (n a + b) .

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124. $Cardinal de A_{n}, P (2) = n$

On note

A

l'ensemble des polynômes à coefficients dans

N

et, pour tout

n \in N

A_{n} = {P \in A ∣ P (2) = n}

Q1-Montrer que

A_{n}

est fini pour tout

n \in N

. On note

u_{n}

son cardinal. Calculer

u_{0}

u_{1}

u_{2}

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125. $Nombres de Bell B_{n}$

Pour

n \in N

, on note

B_{n}

le nombre de partitions d'un ensemble à

n

éléments. On posera

B_{0} = 1

Q1-Montrer

\forall n \in N, B_{n + 1} = k = 0 \sum n (k n) B_{k}

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126. $Calcul de \int_{0}^{1} \frac{x + l n ( 1 - x )}{x ^{2}} d x$

ccp

On étudie

\int_{0}^{a} \frac{x + ln ( 1 - x )}{x ^{2}} d x

pour

a \in] 0; 1 [

127. $Somme au bord pour série positive$

ccp

Soit

\sum a_{n} x^{n}

une série entière de rayon

R = 1

. On pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

pour

x \in] - 1; 1 [

. On suppose

(a_{n})

à termes positifs et

S

bornée sur

[0; 1 [

Q1-Montrer que

\sum a_{n}

est convergente.

Q2-Montrer que

x \to 1^{-} lim n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n} = n = 0 \sum + \infty a_{n}

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128. $Équation différentielle de arcsin (x) / 1 - x^{2}$

ccp

On considère

f (x) = \frac{arcsin x}{1 - x ^{2}}

Q1-Quel est l'ensemble de définition de

f

Q2-Montrer que

f

est solution d'une EDL du premier ordre avec

f (0) = 0

Q3-Montrer que

f

est DSE et en donner le rayon de convergence.

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129. $Série en ln n et intégrales de Wallis$

ccp

Soit

(f_{n})

donnée par

\forall n \geq 2, f_{n} (x) = (- 1)^{n} ln (n) x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence. On note

S

sa somme.

Q2-Montrer que

\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \frac{1}{1 + x} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n + 1} ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n + 1}

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130. $EDL vérifiée par e^{x^{2} /2} \int_{0}^{x} e^{- t^{2} /2} d t$

ccp

On considère

f : x \mapsto e^{x^{2} /2} \int_{0}^{x} e^{- t^{2} /2} d t

131. $Suite a_{n + 1} = ln (1 + a_{n}) et rayon$

ccp

On considère

(a_{n})

définie par

a_{n + 1} = ln (1 + a_{n})

a_{0} > 0

Q1-Convergence et limite de

(a_{n})

Q2-Rayon de convergence de

\sum a_{n} x^{n}

Q3-Convergence sur le bord.

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132. $Développement en série entière de cosh (x) cos (x)$

ccp

Développer

f (x) = cosh (x) cos (x)

en série entière.

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133. $EDL vérifiée par \int_{0}^{1} t^{k} sin (x t) d t$

ccp

Soient

k > 0

f (x) = \int_{0}^{1} t^{k} sin (x t) d t

Q1-Montrer que

f

est continue sur

R

Q2-Montrer que

f

est dérivable et vérifie

x f^{'} (x) + (k + 1) f (x) = sin x

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134. $Solution DSE de t y^{'} + y = 3 t^{2} cos (t^{3/2})$

ccp

On considère

(E) : t y^{'} + y = 3 t^{2} cos (t^{3/2})

Q1-Montrer l'existence d'une unique solution DSE.

Q2-Trouver les solutions sur

R_{+}^{*}

et en déduire

v

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135. $DSE de f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{x + e ^{t}}$

ccp

On considère

f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{x + e ^{t}}

136. $Produit infini \prod (1 - α^{k} x) et DSE$

ccp

Soit

α \in] - 1; 1 [

. On étudie le produit infini

P_{n} (x) = k = 0 \prod n (1 - α^{k} x)

Q1-Montrer la convergence de

P_{n} (x)

vers

P (x)

Q2-Si

f

continue vérifie

f (x) = (1 - x) f (α x)

, montrer

f (x) = f (0) P (x)

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137. $DSE de arctan (x - 1/ tan θ) par partie imaginaire$

ccp

Soit

x \in R

θ \in] 0; π /2 [

Q1-Calculer

Im (\frac{sin θ e ^{i θ}}{1 - x sin θ e ^{i θ}})

Q2-En déduire le DSE de

f (x) = arctan (x - \frac{1}{tan θ})

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138. $Développement en série entière de S (x) - 1/ x$

ccp

Soit

a \in] - 1; 1 [

. On pose

S (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{a ^{n}}{x + n}

Q1-Quel est le domaine de définition de

S

Q2-Déterminer la limite et un équivalent de

S

+ \infty

Q3-Développer en série entière

S (x) - \frac{1}{x}

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139. $Calcul direct de \sum x^{3 n} / (3 n)!$

ccp

Calculer

S_{0} (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{3 n}}{( 3 n )!}

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140. $DSE de arctan (1 + x) et son rayon$

ccp

Montrer que

f (x) = arctan (1 + x)

est DSE au voisinage de

0

et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.

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141. $Série des nombres harmoniques H_{n} x^{n}$

ccp

Soient

\sum a_{n} x^{n}

\sum b_{n} x^{n}

deux séries entières de rayons

R

R^{'}

Q1-Déterminer le rayon de convergence et la somme de

\sum c_{n} x^{n}

avec

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}

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142. $Deux rayons et convergence normale$

ccp

Questions sur les rayons de convergence.

Q1-Déterminer les rayons de convergence de

\sum ln \frac{n + 1}{n} x^{n}

\sum sin (e^{- n}) x^{n}

Q2-Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence ?

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143. $DSE de f (x) = \sum sin (a^{n} x)$

ccp

Soit

a \in] - 1; 1 [

. On pose

f (x) = n = 0 \sum + \infty sin (a^{n} x)

Q1-Montrer que

f

est définie sur

R

Q2-Montrer que

f

est

C^{\infty}

∣ f^{(k)} (x) ∣ \leq \frac{1}{1 - ∣ a ∣}

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144. $Somme de la série entière en sinh n$

ccp

Trouver le rayon de convergence de

n \geq 1 \sum \frac{sinh n}{n ( n + 1 )} x^{n}

. Calculer la somme dans le bon intervalle.

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145. $Série entière associée à \int t^{n} (1 - t)^{n}$

ccp

Calculer

a_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} (1 - t)^{n} d t

pour

n \in N^{*}

. Calculer le rayon et la somme de

\sum a_{n} x^{n}

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146. $Rayon pour a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}$

ccp

Déterminer le rayon de convergence de

\sum a_{n} x^{n}

où

a_{0} = α

a_{1} = β

\forall n, a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}

, avec

(α, β) \in R^{2}

147. $Majoration ∣ a_{n} ∣ \leq 1/ r^{n} et rayons dérivés$

ccp

Soit

\sum a_{n} z^{n}

une série entière de rayon

R > 0

Q1-Montrer qu'il existe

r > 0

tel que

∣ a_{n} ∣ \leq 1/ r^{n}

à partir d'un certain rang.

Q2-Rayon de convergence de

\sum \frac{a _{n}}{n !} z^{n}

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148. $Série entière associée à cos (n θ)$

ccp

On pose

\forall θ \in R, a_{n} = cos (n θ)

Q1-Calculer

n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

pour

x \in] - 1; 1 [

Q2-Montrer que pour

θ \neq = k π

, la série

\sum \frac{a _{n}}{n + 1}

converge et exprimer sa somme.

Q3-Calculer cette intégrale pour

θ \in] 0; π [

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149. $Points fixes et dérangements D (n)$

centrale

On note

N (n, p)

le nombre de permutations de

[[1; n]]

qui ont exactement

p

points fixes. On pose en particulier

D (n) = N (n, 0)

, puis

f (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{D ( n )}{n !} x^{n} .

Q1-(a) Relier

N (n, p)

D (n - p)

Q2-(b) Justifier la définition de

f

sur

] - 1; 1 [

puis calculer

f

Q3-(c) Calculer

N (n, p)

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150. $Équivalent de f_{α} (x) = \sum n^{α} x^{n} en 1^{-}$

centrale

Soit

α > - 1

Q1-(a) Donner le rayon de convergence

R

f_{α} (x) = n = 1 \sum + \infty n^{α} x^{n} .

On désire trouver un équivalent de

f_{α}

lorsque

x \to R^{-}

151. $Comportement asymptotique de a_{n} = \int tan^{n} t$

centrale

Pour

n > 0

, on pose

a_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} t d t .

Q1-(a) Trouver la limite de

(a_{n})

Q2-(b) Trouver une relation simple entre

a_{n + 2}

a_{n}

Q3-(c) On pose

u_{n} (x) = \frac{a _{n}}{n ^{α}} x^{n}

. Donner la nature de la série de terme général

u_{n} (x)

en fonction de

x

et de

α

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152. $Calcul de a_{n} et somme x / ln (1 + x)$

centrale

Soit

(a_{n})

la suite définie par

a_{0} = 1 et a_{n} = \frac{1}{n !} \int_{0}^{1} k = 0 \prod n - 1 (t - k) d t pour n \in N^{*} .

Q1-(a) Rayon de convergence de

\sum a_{n} x^{n}

Q2-(b) Somme de

\sum a_{n} x^{n}

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153. $Rayons et équivalents de f et g en 1$

centrale

On pose

f (x) = n = 1 \sum + \infty (ln n) x^{n} et g (x) = n = 2 \sum + \infty ln (1 - \frac{1}{n}) x^{n} .

Q1-(a) Déterminer les rayons de convergence de

f

et de

g

Q2-(b) Montrer que

g

est définie et continue sur

[- 1; 1 [

Q3-(c) Trouver une relation entre

(1 - x) f (x)

g (x)

pour

x \in] - 1; 1 [

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154. $Étude au bord de \sum sin (1/ n) x^{n}$

centrale

Soit

f : x \mapsto n = 1 \sum + \infty sin (\frac{1}{n}) x^{n} .

Q1-(a) Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière définissant

f

Q2-(b) Étudier la convergence en

- R

et en

R

Q3-(c) Déterminer la limite de

f (x)

quand

x \to 1^{-}

Q4-(d) Montrer que quand

x \to 1^{-}

(1 - x) f (x) \to 0

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155. $Convexité de s (x) = \sum x^{n} / n$

centrale

On pose

s (x) = n = 1 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{n}

Q1-(a) Donner l'intervalle de définition

I

de la fonction

s

Q2-(b) Quel est le signe de

s^{'}

sur

I \cap R_{+}

? Quelle est la limite de

s

en l'extrémité droite de

I \cap R_{+}

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156. $Produit infini P_{n} (z) et fonction limite$

centrale

Pour

z \in C

n \in N

, on pose

P_{n} (z) = k = 0 \prod n (1 - \frac{z}{2 ^{k}}) .

Q1-(a) Montrer que

∣ P_{n} (z) ∣ \leq P_{n} (- ∣ z ∣)

. En déduire que la suite

(P_{n} (z))_{n \in N}

est bornée. Indice : on pourra penser à introduire

ln P_{n} (- ∣ z ∣)

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157. $Série entière \int_{n}^{+ \infty} th (t) / t^{2} d t$

mines

On pose

a_{n} = \int_{n}^{+ \infty} \frac{th t}{t ^{2}} d t

pour

n \in N^{*}

Q1-Étudier la convergence de la série entière

n = 1 \sum + \infty a_{n} x^{n}

pour

x

réel. On note

f (x)

la somme de cette série entière.

Q2-

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158. $Domaine et bornes de \sum ln (1 + 1/ n) x^{n}$

mines

Domaine de définition et étude aux bornes de

n = 1 \sum + \infty ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n} .

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159. $Rayon et somme de \sum \frac{x ^{2 n + 1}}{3 n + 2}$

mines

Rayon de convergence et somme de

n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{2 n + 1}}{3 n + 2} .

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160. $Rayons et équivalent en 1^{-} pour a_{n} ln n$

mines

Soit

(a_{n})

une suite complexe. On suppose que la série entière

\sum a_{n} x^{n}

a pour rayon de convergence

R

Q1-Déterminer les rayons de convergence de

\sum (a_{n} ln n) x^{n}

\sum (a_{n} k = 1 \sum n \frac{1}{k}) x^{n}

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121.

122.DSE de 1+x​ et racine nilpotente

123.Formule de Chu-Vandermonde

124.Cardinal de An​, P(2)=n

125.Nombres de Bell Bn​

126.Calcul de ∫01​x2x+ln(1−x)​dx

127.Somme au bord pour série positive

128.Équation différentielle de arcsin(x)/1−x2​

129.Série en lnn et intégrales de Wallis

130.EDL vérifiée par ex2/2∫0x​e−t2/2dt

131.Suite an+1​=ln(1+an​) et rayon

132.Développement en série entière de cosh(x)cos(x)

133.EDL vérifiée par ∫01​tksin(xt)dt

134.Solution DSE de ty′+y=3t2cos(t3/2)

135.DSE de f(x)=∫0+∞​x+etdt​

136.Produit infini ∏(1−αkx) et DSE

137.DSE de arctan(x−1/tanθ) par partie imaginaire

138.Développement en série entière de S(x)−1/x

139.Calcul direct de ∑x3n/(3n)!

140.DSE de arctan(1+x) et son rayon

141.Série des nombres harmoniques Hn​xn

142.Deux rayons et convergence normale

143.DSE de f(x)=∑sin(anx)

144.Somme de la série entière en sinhn

145.Série entière associée à ∫tn(1−t)n

146.Rayon pour an+2​=2an+1​−an​

147.Majoration ∣an​∣≤1/rn et rayons dérivés

148.Série entière associée à cos(nθ)

149.Points fixes et dérangements D(n)

150.Équivalent de fα​(x)=∑nαxn en 1−

151.Comportement asymptotique de an​=∫tannt

152.Calcul de an​ et somme x/ln(1+x)

153.Rayons et équivalents de f et g en 1

154.Étude au bord de ∑sin(1/n​)xn

155.Convexité de s(x)=∑xn/n​

156.Produit infini Pn​(z) et fonction limite

157.Série entière ∫n+∞​th(t)/t2dt

158.Domaine et bornes de ∑ln(1+1/n)xn

159.Rayon et somme de ∑3n+2x2n+1​

160.Rayons et équivalent en 1− pour an​lnn

122. $DSE de 1 + x et racine nilpotente$

123. $Formule de Chu-Vandermonde$

124. $Cardinal de A_{n}, P (2) = n$

125. $Nombres de Bell B_{n}$

126. $Calcul de \int_{0}^{1} \frac{x + l n ( 1 - x )}{x ^{2}} d x$

127. $Somme au bord pour série positive$

128. $Équation différentielle de arcsin (x) / 1 - x^{2}$

129. $Série en ln n et intégrales de Wallis$

130. $EDL vérifiée par e^{x^{2} /2} \int_{0}^{x} e^{- t^{2} /2} d t$

131. $Suite a_{n + 1} = ln (1 + a_{n}) et rayon$

132. $Développement en série entière de cosh (x) cos (x)$

133. $EDL vérifiée par \int_{0}^{1} t^{k} sin (x t) d t$

134. $Solution DSE de t y^{'} + y = 3 t^{2} cos (t^{3/2})$

135. $DSE de f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{x + e ^{t}}$

136. $Produit infini \prod (1 - α^{k} x) et DSE$

137. $DSE de arctan (x - 1/ tan θ) par partie imaginaire$

138. $Développement en série entière de S (x) - 1/ x$

139. $Calcul direct de \sum x^{3 n} / (3 n)!$

140. $DSE de arctan (1 + x) et son rayon$

141. $Série des nombres harmoniques H_{n} x^{n}$

142. $Deux rayons et convergence normale$

143. $DSE de f (x) = \sum sin (a^{n} x)$

144. $Somme de la série entière en sinh n$

145. $Série entière associée à \int t^{n} (1 - t)^{n}$

146. $Rayon pour a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}$

147. $Majoration ∣ a_{n} ∣ \leq 1/ r^{n} et rayons dérivés$

148. $Série entière associée à cos (n θ)$

149. $Points fixes et dérangements D (n)$

150. $Équivalent de f_{α} (x) = \sum n^{α} x^{n} en 1^{-}$

151. $Comportement asymptotique de a_{n} = \int tan^{n} t$

152. $Calcul de a_{n} et somme x / ln (1 + x)$

153. $Rayons et équivalents de f et g en 1$

154. $Étude au bord de \sum sin (1/ n) x^{n}$

155. $Convexité de s (x) = \sum x^{n} / n$

156. $Produit infini P_{n} (z) et fonction limite$

157. $Série entière \int_{n}^{+ \infty} th (t) / t^{2} d t$

158. $Domaine et bornes de \sum ln (1 + 1/ n) x^{n}$

159. $Rayon et somme de \sum \frac{x ^{2 n + 1}}{3 n + 2}$

160. $Rayons et équivalent en 1^{-} pour a_{n} ln n$