Exercices de Séries entières en maths Spé (prépa) (page 5)

162. $DSE de \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t ^{2}}$

mines

Développer en série entière

x \mapsto \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t ^{2}} .

163. $Éléments simples de \frac{1}{( X + 1 ) ^{m} ( X - 1 ) ^{n}}$

mines

Soit

m, n

deux entiers non nuls.

Q1-Déterminer la décomposition en éléments simples de

\frac{1}{( X + 1 ) ^{m} ( X - 1 ) ^{n}}

Q2-Déterminer deux polynômes

U

V

tels que

(X + 1)^{m} U (X) + (X - 1)^{n} V (X) = 1

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164. $DSE de F (x) = \int e^{i t x} f (t) d t$

mines

Soit

f \in C^{0} (R, R)

telle que

(\int_{- \infty}^{+ \infty} t^{n} f (t) d t)_{n \geq 0}

soit bornée.

Q1-Montrer, si

t \in R

e^{i t} - k = 0 \sum n \frac{( i t ) ^{k}}{k !} \leq \frac{∣ t ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .

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165. $Calcul explicite pour \sum ln (1 + 1/ n) x^{n}$

mines

On considère

f (x) = n = 1 \sum + \infty ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n} .

Q1-Donner l'ensemble de définition de

f

Q2-Calculer

f (- 1)

\int_{0}^{1} \frac{( - 1 ) ^{E (1/ x)}}{x} d x

où

E

est la fonction partie entière.

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166. $Étude asymptotique de n \int ln (1 + t^{n}) d t$

mines

Étudier la limite de la suite de terme général

I_{n} = n \int_{0}^{1} ln (1 + t^{n}) d t .

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167. $Somme numérique \sum \frac{1}{( 3 n + 2 ) 3 ^{n}}$

mines

Calculer

n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 3 n + 2 ) \times 3 ^{n}} .

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168. $Rayon et somme de \sum \frac{n !}{1 \times 3 \times \dots} x^{n}$

mines

On considère la série entière

n \geq 0 \sum \frac{n !}{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )} x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière.

Q2-Pour

x \in] - R; R [

, calculer la somme précédente.

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169. $Équivalent de I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t$

mines

Pour

n \in N^{*}

, on pose

I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t .

170. $Étude de f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t - 1}{l n t} t^{x} d t$

mines

Étudier

f : x \mapsto \int_{0}^{1} \frac{t - 1}{ln t} t^{x} d t .

171. $CCP MP$

On note

f (x)

la somme de la série entière

n \in N^{*} \sum sin (\frac{1}{n}) x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence

R

de cette série entière.

Q2-Y a-t-il convergence en

R

- R

Q3-Déterminer

x \to 1^{-} lim f (x)

Q4-Montrer que

x \to 1^{-} lim (1 - x) f (x) = 0

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172. $CCP MP 2018$

Soit

β \in R

. Pour

n \in N^{*}

, on pose

r_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{β}}

b_{n} = \frac{1}{r _{n}}

Q1-Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière

\sum b_{n} x^{n}

Q2-Étudier la convergence de la série pour

x = R

x = - R

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173. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

On note

S (x) = n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n} ln (n) x^{n}

Q1-Déterminer le rayon de convergence de

n \geq 1 \sum (- 1)^{n} ln (n) x^{n}

Q2-Montrer que

\forall x \in] - 1, 1 [, S (x) = \frac{1}{1 + x} n = 1 \sum + \infty (- 1)^{n + 1} ln (1 + \frac{1}{n}) x^{n + 1}

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174. $Mines-Ponts MP 2017$

Étude d'un endomorphisme de

C [X]

lié aux séries entières exponentielles.

Q1-Soit

P \in C [X]

. Montrer qu'il existe un unique polynôme

Q

tel que

\forall z \in C, Q (z) = e^{- z} n = 0 \sum + \infty P (n) \frac{z ^{n}}{n !}

On notera ce polynôme

u (P)

Q2-Montrer que

u

est un automorphisme de

C [X]

Q3-Déterminer les éléments propres de

u

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175. $Centrale MP 2018$

Soit

(a_{n})_{n \geq 2}

une suite de réels. On pose

D = {z \in C, ∣ z ∣ < 1}

et on suppose que

f : z \mapsto z + n = 2 \sum + \infty a_{n} z^{n}

est définie et injective sur

D

Q1-Montrer que

\forall z \in D, z \in R ⟺ f (z) \in R

Q2-Montrer que

\forall z \in D, Im (z) > 0 ⟺ Im (f (z)) > 0

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176. $Mines-Ponts MP 2017$

E

est un ensemble à

n

éléments. On appelle dérangement une permutation de

E

sans point fixe. On note

D_{n}

le nombre de dérangements de

E

. On pose

D_{0} = 1

.
On définit

f : x \mapsto n = 0 \sum + \infty \frac{D _{n}}{n !} x^{n}

Q1-Montrer l'égalité

n! = k = 0 \sum n (k n) D_{k}

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177. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) PSI 2019$

On cherche à résoudre l'équation

(E) \forall x \in R_{+}, u (x) = 1 + \int_{0}^{x} u (\frac{t}{2}) d t

avec

u \in C^{0} (R_{+}, R)

Q1-Soit la suite

(u_{n})

de fonctions définie par

u_{0} = 1

et, pour tout

n \in N

\forall x \in R_{+}, u_{n + 1} (x) = 1 + \int_{0}^{x} u_{n} (\frac{t}{2}) d t

Montrer par récurrence que,

\forall x \in R_{+}, 0 \leq u_{n + 1} (x) - u_{n} (x) \leq \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 )!}

En déduire que la suite

(u_{n})

converge vers une certaine fonction

u

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178. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Soit

t \in R

. On pose

\forall n \in N, f_{n} (t) = \frac{( t ^{2} - 1 ) ^{n + 1}}{n + 1}

Q1-Donner le domaine de convergence

D

\sum f_{n}

Q2-Calculer

n = 0 \sum + \infty f_{n} (t)

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179. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

Soit

α \in] - 1, 1 [

. Pour

x \in R

n \in N^{*}

, on pose

w_{n} (x) = \frac{α ^{n}}{n} cos (n x)

. Soit

W : x \mapsto n = 1 \sum + \infty w_{n} (x)

Q1-Montrer que

W

est de classe

C^{1}

sur

R

; exprimer

W^{'}

à l'aide des fonctions usuelles.

Q2-Calculer

\int_{- π}^{π} ln (1 - 2 α cos x + α^{2}) d x

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180. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

Développer en séries entières les fonctions suivantes au voisinage de

0

et préciser le rayon de convergence :

Q1-

f (z) = \frac{1}{6 z ^{2} - 5 z + 1}

z \in C

Q2-

g (x) = ln (\frac{2 + x}{1 - x})

x \in R

Q3-

h (x) = \int_{0}^{x} sin (t^{2}) d t

x \in R

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181. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

Soit

q \in] - 1, 1 [

Q1-Montrer qu'il existe une unique fonction

f

continue en

0

telle que

f (0) = 1

\forall x \in] - 1, 1 [, f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} f (q x)

Q2-Cette fonction est-elle développable en série entière ?

S_{i}

oui, quel est son rayon de convergence ?

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182. $Centrale PC$

On pose

H_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k}

pour

n \in N^{*}

. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière

n \in N^{*} \sum H_{n} x^{n}

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183. $CCP MP 2018$

Étude de la fonction

arctan

et d'une série entière associée.

Q1-Montrer que

arctan

est développable en série entière sur

] - 1, 1 [

Q2-On considère la série entière

k \in N^{*} \sum \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{( 2 k + 1 ) ( 2 k - 1 )} x^{2 k + 1}

. Donner son rayon de convergence

R

. On note

f (x)

la somme.

Q3-Donner une expression simple de

f^{'}

et de

f

Q4-Que peut-on dire de la convergence sur

[- R, R]

Q5-Calculer

n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{4 n ^{2} - 1}

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184. $Mines-Ponts MP 2018$

On note

a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{( 2 + t ^{2} ) ^{n + 1}}

pour

n \in N

Q1-Donner le rayon de convergence de la série entière

n \in N \sum a_{n} x^{n}

Q2-Calculer la somme de cette série entière sur son domaine de convergence.

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185. $Petites Mines PC 2017$

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière

n \in N \sum \frac{n ^{2} + 4 n - 1}{n + 2} x^{n}

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186. $Rayon de \sum (a_{n} + b_{n}) z^{n} si a_{n} b_{n} = 0$

Soient

n \in N \sum a_{n} z^{n}

n \in N \sum b_{n} z^{n}

des séries entières de rayon de convergence respectifs

R_{a}

R_{b}

. On note

R

le rayon de convergence de la série entière

n = 0 \sum + \infty (a_{n} + b_{n}) z^{n}

. On suppose de plus que

a_{n} b_{n} = 0

pour tout

n \in N

. Montrer que

R = min (R_{a}, R_{b})

187. $Règle de Cauchy$

Soit

(a_{n}) \in C^{N}

telle que

n \to + \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = ℓ \in R_{+} \cup {+ \infty}

. Déterminer le rayon de convergence de la série

n \in N \sum a_{n} z^{n}

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188. $Comparaison de rayons pour b_{n} = a_{n} / \sum a_{k}$

Soit

(a_{n}) \in (R_{+}^{*})^{N}

. Pour tout

n \in N

, on pose

b_{n} = \frac{a _{n}}{\sum _{k = 0}^{n} a _{k}}

. Comparer les rayons des séries entières

n \in N \sum a_{n} z^{n}

n \in N \sum b_{n} z^{n}

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189. $Mines-Ponts MP 2016$

Soit

q > 0

, on pose

a_{n} = q^{n}

n

est un carré d'entier et

a_{n} = 0

sinon. Déterminer le rayon de convergence de la série entière

n \in N \sum a_{n} x^{n}

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190. $Règle de d’Alembert$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes.

Q1-

\sum \frac{( - 1 ) ^{n} z ^{n}}{n}

Q2-

\sum 2^{n} ln (n) z^{n}

Q3-

\sum (n 2 n) z^{n}

Q4-

\sum (n + 2^{ni}) z^{n}

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191. $Cinq séries et leurs rayons$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes.

Q1-

\sum cos (n) z^{n}

Q2-

\sum \frac{sin n}{n} z^{n}

Q3-

\sum tan (\frac{nπ}{7}) z^{n}

Q4-

n \in N^{*} \sum d_{n} z^{n}

où

d_{n}

est le nombre de diviseurs positifs de

n

Q5-

\sum a_{n} z^{n}

où

a_{n}

est la

n

-ème décimale de

π

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192. $Séries lacunaires$

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes.

Q1-

\sum z^{n^{2}}

Q2-

\sum 2^{n} z^{2^{n}}

Q3-

\sum \frac{n ^{n}}{n !} z^{3 n}

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193. $Somme de \sum (n + 1) 3^{- n}$

Prouver la convergence et calculer la somme de la série suivante

n \geq 0 \sum (n + 1) 3^{- n}

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194. $ENS (non PSI) PC 2019$

On pose

E

l'ensemble des suites à valeurs réelles de limite nulle et

f_{a} (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n}

. Montrer que :

\forall a \in E, \exists φ (a) \in E, \forall x \in] 0, 1 [, f_{φ (a)} (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \frac{f _{a} ( t )}{1 - t} d t

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195. $Suite a_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} t d t et rayon$

Pour

n \in N

, on pose

a_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} tan^{n} t d t

Q1-Déterminer la limite de la suite

(a_{n})

Q2-Quel est le sens de variation de

(a_{n})

Q3-Déterminer une relation simple entre

a_{n}

a_{n + 2}

. En déduire un équivalent de

(a_{n})

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196. $Rayon et somme de \sum cos (nπ /2) x^{n}$

Déterminer le rayon de convergence et la somme de

f (x) = n = 0 \sum + \infty cos (\frac{nπ}{2}) x^{n}

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197. $CCP MP 2018$

1. Montrer que

arctan

est développable en série entière sur

] - 1, 1 [

.
2. On considère la série entière

k \in N^{*} \sum \frac{( - 1 ) ^{k + 1}}{( 2 k + 1 ) ( 2 k - 1 )} x^{2 k + 1}

. Donner son rayon de convergence

R

. On note

f (x)

la somme.
3. Donner une expression simple de

f^{'}

et de

f

.
4. Que peut-on dire de la convergence sur

[- R, R]

?
5. Calculer

n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{4 n ^{2} - 1}

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198. $Mines-Ponts MP 2018$

On note

a_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{( 2 + t ^{2} ) ^{n + 1}}

pour

n \in N

Q1-Donner le rayon de convergence de la série entière

n \in N \sum a_{n} x^{n}

Q2-Calculer la somme de cette série entière sur son domaine de convergence.

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199. $Petites Mines PC 2017$

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière

n \in N \sum \frac{n ^{2} + 4 n - 1}{n + 2} x^{n}

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200. $Rayon et somme de \sum \frac{x ^{n}}{2 n + 1}$

1. Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière

f (x) = n = 0 \sum + \infty \frac{x ^{n}}{2 n + 1}

.
2. Déterminer

f (x)

pour

x \in] - R, R [

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161.

162.DSE de ∫−∞x​1+t+t2dt​

163.Éléments simples de (X+1)m(X−1)n1​

164.DSE de F(x)=∫eitxf(t)dt

165.Calcul explicite pour ∑ln(1+1/n)xn

166.Étude asymptotique de n∫ln(1+tn)dt

167.Somme numérique ∑(3n+2)3n1​

168.Rayon et somme de ∑1×3×⋯n!​xn

169.Équivalent de In​=∫1+∞​e−tndt

170.Étude de f(x)=∫01​lntt−1​txdt

171.CCP MP

172.CCP MP 2018

173.CCINP (ou CCP) MP 2021

174.Mines-Ponts MP 2017

175.Centrale MP 2018

176.Mines-Ponts MP 2017

177.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) PSI 2019

178.CCINP (ou CCP) MP 2021

179.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023

180.CCINP (ou CCP) MP 2021

181.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023

182.Centrale PC

183.CCP MP 2018

184.Mines-Ponts MP 2018

185.Petites Mines PC 2017

186.Rayon de ∑(an​+bn​)zn si an​bn​=0

187.Règle de Cauchy

188.Comparaison de rayons pour bn​=an​/∑ak​

189.Mines-Ponts MP 2016

190.Règle de d’Alembert

191.Cinq séries et leurs rayons

192.Séries lacunaires

193.Somme de ∑(n+1)3−n

194.ENS (non PSI) PC 2019

195.Suite an​=∫0π/4​tanntdt et rayon

196.Rayon et somme de ∑cos(nπ/2)xn

197.CCP MP 2018

198.Mines-Ponts MP 2018

199.Petites Mines PC 2017

200.Rayon et somme de ∑2n+1xn​

162. $DSE de \int_{- \infty}^{x} \frac{d t}{1 + t + t ^{2}}$

163. $Éléments simples de \frac{1}{( X + 1 ) ^{m} ( X - 1 ) ^{n}}$

164. $DSE de F (x) = \int e^{i t x} f (t) d t$

165. $Calcul explicite pour \sum ln (1 + 1/ n) x^{n}$

166. $Étude asymptotique de n \int ln (1 + t^{n}) d t$

167. $Somme numérique \sum \frac{1}{( 3 n + 2 ) 3 ^{n}}$

168. $Rayon et somme de \sum \frac{n !}{1 \times 3 \times \dots} x^{n}$

169. $Équivalent de I_{n} = \int_{1}^{+ \infty} e^{- t^{n}} d t$

170. $Étude de f (x) = \int_{0}^{1} \frac{t - 1}{l n t} t^{x} d t$

171. $CCP MP$

172. $CCP MP 2018$

173. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

174. $Mines-Ponts MP 2017$

175. $Centrale MP 2018$

176. $Mines-Ponts MP 2017$

177. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) PSI 2019$

178. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

179. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

180. $CCINP (ou CCP) MP 2021$

181. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2023$

182. $Centrale PC$

183. $CCP MP 2018$

184. $Mines-Ponts MP 2018$

185. $Petites Mines PC 2017$

186. $Rayon de \sum (a_{n} + b_{n}) z^{n} si a_{n} b_{n} = 0$

187. $Règle de Cauchy$

188. $Comparaison de rayons pour b_{n} = a_{n} / \sum a_{k}$

189. $Mines-Ponts MP 2016$

190. $Règle de d’Alembert$

191. $Cinq séries et leurs rayons$

192. $Séries lacunaires$

193. $Somme de \sum (n + 1) 3^{- n}$

194. $ENS (non PSI) PC 2019$

195. $Suite a_{n} = \int_{0}^{π /4} tan^{n} t d t et rayon$

196. $Rayon et somme de \sum cos (nπ /2) x^{n}$

197. $CCP MP 2018$

198. $Mines-Ponts MP 2018$

199. $Petites Mines PC 2017$

200. $Rayon et somme de \sum \frac{x ^{n}}{2 n + 1}$