Exercices de Matrices en maths Sup (prépa)

1. $Matrice J et somme des termes$

2. $Inégalités stables par puissances$

Soit

M = (a c b d) \in M_{2} (R)

avec

0 \leq d \leq c \leq b \leq a

b + c \leq a + d

.
Pour tout

n \geq 2

, on note

M^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})

.
Démontrer que, pour tout

n \geq 2

b_{n} + c_{n} \leq a_{n} + d_{n}

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3. $Résoudre X^{2} = A (triangulaire)$

Résoudre l'équation

X^{2} = A

où

A = 1000401216

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4. $A + A^{- 1} = I_{n} : A^{k} + A^{- k}$

Soit

A \in GL_{n} (R)

vérifiant

A + A^{- 1} = I_{n}

.
Pour

k \in N

, calculer

A^{k} + A^{- k}

5. $Matrices commutant avec un diagonal$

Soient

λ_{1}, \dots, λ_{n}

des éléments de

K

deux à deux distincts et

D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

.
Déterminer les matrices de

M_{n} (K)

commutant avec

D

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6. $A B = B A pour tout B ssi A = λ I_{n}$

Soit

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)

. Montrer que

\forall B \in M_{n} (K), A B = B A ⟺ \exists λ \in K, A = λ I_{n} .

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7. $B nilpotente : A et A + B inversibles$

Soient

A, B \in M_{n} (R)

où

B

est nilpotente et commute avec

A

. Montrer que

A

A + B

sont simultanément inversibles.

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8. $A inversible, B commute : A^{- 1} B$

On suppose que

A, B \in M_{n} (K)

commutent et que

A

est inversible.
Justifier que les matrices

A^{- 1}

B

commutent.

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9. $Commutant de familles de matrices$

Déterminer les matrices de

M_{n} (K)

commutant avec certaines familles de matrices.

Q1-Quelles sont les matrices de

M_{n} (K)

commutant avec toutes les matrices de

M_{n} (K)

Q2-Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de

GL_{n} (K)

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10. $Commutant de A diagonale distincte$

Soient

n \in N^{*}

α_{1}, \dots, α_{n}

des complexes distincts,

A = diag (α_{1}, \dots, α_{n})

C (A) = {M \in M_{n} (C), A M = M A}

.
Montrer que

(A^{k})_{0 \leq k \leq n - 1}

est une base de

C (A)

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11. $Commutant de G L_{n} et de M_{n}$

Soit

n \in N

avec

n \geq 2

Q1-Montrer que

{A \in M_{n} (R) ∣ \forall M \in GL_{n} (R), A M = M A} = {λ I_{n} ∣ λ \in R}

Q2-Soit

A \in M_{n} (R)

. On suppose que

\forall M, N \in M_{n} (R)

A = M N ⟹ A = N M

. Montrer qu'il existe

λ \in R

tel que

A = λ I_{n}

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12. $T triangulaire commutant à T^{⊤}$

Soit

T \in M_{n} (R)

une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que

T

commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice

T

est diagonale.

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13. $Commutant de toutes les symétriques$

Soit

n \geq 2

. Déterminer les matrices de

M_{n} (K)

commutant avec toutes les matrices symétriques.

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14. $Commutant des antisymétriques$

Soit

n \geq 2

. Déterminer les matrices de

M_{n} (K)

commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

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15. $φ (M) = D M - M D : commutant diag.$

Soient

D = diag (a_{1}, \dots, a_{n}) \in M_{n} (K)

φ : M \in M_{n} (K) \mapsto D M - M D

Q1-Déterminer noyau et image de l'endomorphisme

φ

Q2-Préciser ces espaces quand

D

est à coefficients diagonaux distincts.

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16. $A = I + B, B nilpotente : A^{n}$

On considère la matrice

A = 100110111

et on pose

B = A - I

.
Calculer

B^{n}

pour

n \in N

et en déduire l'expression de

A^{n}

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17. $A^{n} pour Jordan 3 \times 3$

Calculer

A^{n}

pour

A = 100110011

de deux manières différentes.

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18. $Puissances d'une matrice 2 \times 2$

On considère la matrice

A = (- 1 3 - 2 4)

Q1-Calculer

A^{2} - 3 A + 2 I

. En déduire que

A

est inversible et calculer son inverse.

Q2-Pour

n \geq 2

, déterminer le reste de la division euclidienne de

X^{n}

par

X^{2} - 3 X + 2

Q3-En déduire l'expression de la matrice

A^{n}

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19. $Puissances d'une triangulaire$

Soit

A \in M_{n} (R)

la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients sur et au-dessus de la diagonale valent

1

Q1-Soit

k \in N^{*}

. Majorer les coefficients de

A^{k}

Q2-Calculer

A^{- 1}

Q3-Calculer

(A^{- 1})^{k}

pour

k \in N

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20. $Cayley-Hamilton en dim 2$

Soit

A = (a c b d) \in M_{2} (K)

.
Observer que

A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I = 0

.
À quelle condition

A

est-elle inversible ? Déterminer alors

A^{- 1}

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21. $Calcul d'inverses (lot de matrices)$

Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes.

Q1-

A = 12 - 1 010 - 1 - 3 2

Q2-

B = 12 - 1 0 - 1 1 11 - 1

Q3-

C = 122101 - 1 1 - 1

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22. $Inverse d'une triangulaire sup.$

Justifier que

A = 10 ⋮ 0 - 1 1 ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 0 - 1 ⋮ - 1 1 \in M_{n} (R)

est inversible et déterminer

A^{- 1}

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23. $Matrice de Fourier DFT : inverse$

Soient

n \in N ∖ {0, 1}

ω = exp (\frac{2 iπ}{n})

. On pose

A = (ω^{(k - 1) (ℓ - 1)})_{1 \leq k, ℓ \leq n} \in M_{n} (C)

.
Calculer

A \overline{A}

. En déduire que

A

est inversible et calculer

A^{- 1}

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24. $Inverse d'une matrice 3 \times 3$

Soit

A = 25 - 1 - 1 - 3 0 23 - 2

Q1-Calculer

(A + I)^{3}

Q2-En déduire que

A

est inversible.

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25. $A = (1 - δ_{i, j}) : inverse$

Soit

A = (1 - δ_{i, j}) \in M_{n} (R)

Q1-Calculer

A^{2}

Q2-Montrer que

A

est inversible et exprimer

A^{- 1}

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26. $Transformation de Cayley$

Soit

A \in M_{n} (K)

telle que la matrice

I + A

soit inversible. On pose

B = (I - A) (I + A)^{- 1}

Q1-Montrer que

B = (I + A)^{- 1} (I - A)

Q2-Montrer que

I + B

est inversible et exprimer

A

en fonction de

B

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27. $A B C = O : une matrice non inversible$

Soient

A, B, C \in M_{n} (K)

(

n \geq 2

) non nulles vérifiant

A B C = O_{n}

.
Montrer qu'au moins deux des matrices

A, B, C

ne sont pas inversibles.

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1.Matrice J et somme des termes

2.Inégalités stables par puissances

3.Résoudre X2=A (triangulaire)

4.A+A−1=In​ : Ak+A−k

5.Matrices commutant avec un diagonal

6.AB=BA pour tout B ssi A=λIn​

7.B nilpotente : A et A+B inversibles

8.A inversible, B commute : A−1B

9.Commutant de familles de matrices

10.Commutant de A diagonale distincte

11.Commutant de GLn​ et de Mn​

12.T triangulaire commutant à T⊤

13.Commutant de toutes les symétriques

14.Commutant des antisymétriques

15.φ(M)=DM−MD : commutant diag.

16.A=I+B, B nilpotente : An

17.An pour Jordan 3×3

18.Puissances d'une matrice 2×2

19.Puissances d'une triangulaire

20.Cayley-Hamilton en dim 2

21.Calcul d'inverses (lot de matrices)

22.Inverse d'une triangulaire sup.

23.Matrice de Fourier DFT : inverse

24.Inverse d'une matrice 3×3

25.A=(1−δi,j​) : inverse

26.Transformation de Cayley

27.ABC=O : une matrice non inversible

1. $Matrice J et somme des termes$

2. $Inégalités stables par puissances$

3. $Résoudre X^{2} = A (triangulaire)$

4. $A + A^{- 1} = I_{n} : A^{k} + A^{- k}$

5. $Matrices commutant avec un diagonal$

6. $A B = B A pour tout B ssi A = λ I_{n}$

7. $B nilpotente : A et A + B inversibles$

8. $A inversible, B commute : A^{- 1} B$

9. $Commutant de familles de matrices$

10. $Commutant de A diagonale distincte$

11. $Commutant de G L_{n} et de M_{n}$

12. $T triangulaire commutant à T^{⊤}$

13. $Commutant de toutes les symétriques$

14. $Commutant des antisymétriques$

15. $φ (M) = D M - M D : commutant diag.$

16. $A = I + B, B nilpotente : A^{n}$

17. $A^{n} pour Jordan 3 \times 3$

18. $Puissances d'une matrice 2 \times 2$

19. $Puissances d'une triangulaire$

20. $Cayley-Hamilton en dim 2$

21. $Calcul d'inverses (lot de matrices)$

22. $Inverse d'une triangulaire sup.$

23. $Matrice de Fourier DFT : inverse$

24. $Inverse d'une matrice 3 \times 3$

25. $A = (1 - δ_{i, j}) : inverse$

26. $Transformation de Cayley$

27. $A B C = O : une matrice non inversible$