Exercices de Matrices en maths Sup (prépa) (page 4)

106. $Matrice indép. du choix de base$

Soit

E

un espace vectoriel réel de dimension

n \geq 2

. Étude des endomorphismes dont la représentation matricielle est invariante par changement de base.

Q1-Indiquer des endomorphismes dont la matrice est la même dans toutes les bases.

Q2-Montrer que

(e_{1} + e_{i}, e_{2}, \dots, e_{n})

est une base.

Q3-Déterminer les endomorphismes à matrice diagonale dans toutes les bases.

Q4-Quels sont les endomorphismes dont la matrice est la même dans toutes les bases ?

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Exercices de Matrices, Sup (prépa) (page 4)

82.

83. $Inverse par blocs (Schur)$

84. $A^{n} pour matrice 4 \times 4 par blocs$

85. $Rang de M, blocs A et B$

86. $A B - B A = I_{n} impossible en dim. finie$

87. $Rang 1 : f^{2} = tr (f) f$

88. $Trace de M \mapsto M A$

89. $tr (M) = 0 : M = [A, B]$

90. $Forme linéaire = tr (A \cdot)$

91. $ker (tr) = Vect ([A, B])$

92. $Trace et projecteurs$

93. $Sous-groupe fini et trace nulle$

94. $Sous-groupes finis de G L_{n} et trace$

95. $f (A B) = f (B A) proportionnelle à tr$

96. $Caractérisation de la trace$

97. $Trace de M \mapsto A M + M A$

98. $Équation X = tr (X) A + B$

99. $Rang 1 et projecteurs$

100. $Projecteurs \sum A_{i} = I_{n} : A_{i} A_{j} = 0$

101. $H = {g ∣ f \circ g \circ f = g}$

102. $f^{3} + f = 0, f \neq = 0 dans R^{3}$

103. $(A B - B A)^{2} = I_{n} : existence$

104. $f^{2} = g^{2} = 0, f g = g f : calculer f g$

105. $Transformée de Fourier discrète$

106. $Matrice indép. du choix de base$

107. $R^{3} = ker f \oplus Im f$

108. $u (P) = P (X + 1), v (P) = P (X - 1)$

82.

83.Inverse par blocs (Schur)

84.An pour matrice 4×4 par blocs

85.Rang de M, blocs A et B

86.AB−BA=In​ impossible en dim. finie

87.Rang 1 : f2=tr(f)f

88.Trace de M↦MA

89.tr(M)=0 : M=[A,B]

90.Forme linéaire = tr(A⋅)

91.ker(tr)=Vect([A,B])

92.Trace et projecteurs

93.Sous-groupe fini et trace nulle

94.Sous-groupes finis de GLn​ et trace

95.f(AB)=f(BA) proportionnelle à tr

96.Caractérisation de la trace

97.Trace de M↦AM+MA

98.Équation X=tr(X)A+B

99.Rang 1 et projecteurs

100.Projecteurs ∑Ai​=In​ : Ai​Aj​=0

101.H={g∣f∘g∘f=g}

102.f3+f=0, f=0 dans R3

103.(AB−BA)2=In​ : existence

104.f2=g2=0, fg=gf : calculer fg

105.Transformée de Fourier discrète

106.Matrice indép. du choix de base

107.R3=kerf⊕Imf

108.u(P)=P(X+1), v(P)=P(X−1)

83. $Inverse par blocs (Schur)$

84. $A^{n} pour matrice 4 \times 4 par blocs$

85. $Rang de M, blocs A et B$

86. $A B - B A = I_{n} impossible en dim. finie$

87. $Rang 1 : f^{2} = tr (f) f$

88. $Trace de M \mapsto M A$

89. $tr (M) = 0 : M = [A, B]$

90. $Forme linéaire = tr (A \cdot)$

91. $ker (tr) = Vect ([A, B])$

92. $Trace et projecteurs$

93. $Sous-groupe fini et trace nulle$

94. $Sous-groupes finis de G L_{n} et trace$

95. $f (A B) = f (B A) proportionnelle à tr$

96. $Caractérisation de la trace$

97. $Trace de M \mapsto A M + M A$

98. $Équation X = tr (X) A + B$

99. $Rang 1 et projecteurs$

100. $Projecteurs \sum A_{i} = I_{n} : A_{i} A_{j} = 0$

101. $H = {g ∣ f \circ g \circ f = g}$

102. $f^{3} + f = 0, f \neq = 0 dans R^{3}$

103. $(A B - B A)^{2} = I_{n} : existence$

104. $f^{2} = g^{2} = 0, f g = g f : calculer f g$

105. $Transformée de Fourier discrète$

106. $Matrice indép. du choix de base$

107. $R^{3} = ker f \oplus Im f$

108. $u (P) = P (X + 1), v (P) = P (X - 1)$