Exercices de Matrices en maths Sup (prépa) (page 6)

137. $Algèbre des matrices trig. sup.$

Soit

E

l'ensemble des matrices de la forme

(a 0 c b)

avec

a, b, c \in R

Q1-

[(a)] Montrer que $E$ est un $R$ -espace vectoriel. Donner sa dimension ainsi qu'une base.
[(b)] Montrer que $E$ est un anneau. Est-il commutatif ?
[(c)] On note $G$ l'ensemble des matrices de $E$ telles que $a > 0$ et $b > 0$ . Montrer que $G$ est un groupe.

Q2-Soit

A \in E

. Calculer

A^{p}

pour tout

p \in N

. On pourra distinguer les cas

a \neq = b

a = b

Voir le corrigé

1.(a)

E

est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures

(a 0 c b)

avec

a, b, c \in R

E

est un sous-espace vectoriel de

M_{2} (R)

(la combinaison linéaire de deux telles matrices est de la même forme, et la matrice nulle est dans

E

). Une base est :

e_{1} = (1000), e_{2} = (0001), e_{3} = (0010) .

La dimension de

E

est

3

.

(b) Vérifions que

E

est un sous-anneau de

(M_{2} (R), +, \times)

I_{2} = (1001) \in E

. Et :

(a 0 c b) (a^{'} 0 c^{'} b^{'}) = (a a^{'} 0 a c^{'} + c b^{'} b b^{'}) \in E .

Donc

E

est stable par produit. Comme

(E, +)

est un sous-groupe et

E

est stable par produit avec

I_{2} \in E

E

est un sous-anneau.

E

n'est pas commutatif :

e_{1} e_{3} = (0010) = e_{3}

mais

e_{3} e_{1} = (0000) \neq = e_{3}

.

(c) Soit

G = {(a 0 c b) \in E : a > 0, b > 0}

.

-

I_{2} \in G

(

a = b = 1 > 0

).
- Produit : si

a, b, a^{'}, b^{'} > 0

, alors

a a^{'} > 0

b b^{'} > 0

, donc le produit est dans

G

.
- Inverse :

(a 0 c b)^{- 1} = (1/ a 0 - c / (ab) 1/ b)

. Comme

a, b > 0

, on a

1/ a, 1/ b > 0

, donc l'inverse est dans

G

.

Donc

G

est un sous-groupe de

(GL_{2} (R), \times)

.

2. Soit

A = (a 0 c b)

. Calculons

A^{p}

par récurrence.

Cas $a \neq = b$ : montrons par récurrence que

A^{p} = (a^{p} 0 c \cdot \frac{a ^{p} - b ^{p}}{a - b} b^{p})

.

- Pour

p = 0

A^{0} = I_{2}

\frac{a ^{0} - b ^{0}}{a - b} = 0

✓

- Pour

p = 1

\frac{a - b}{a - b} = 1

✓

- Hérédité :

A^{p + 1} = A^{p} \cdot A = (a^{p} 0 c \frac{a ^{p} - b ^{p}}{a - b} b^{p}) (a 0 c b) = (a^{p + 1} 0 a^{p} c + c b \frac{a ^{p} - b ^{p}}{a - b} b^{p + 1})

.

Le coefficient (1,2) vaut

c (a^{p} + b \cdot \frac{a ^{p} - b ^{p}}{a - b}) = c \cdot \frac{a ^{p} ( a - b ) + b ( a ^{p} - b ^{p} )}{a - b} = c \cdot \frac{a ^{p + 1} - b ^{p + 1}}{a - b}

✓

Cas $a = b$ : montrons que

A^{p} = (a^{p} 0 p c a^{p - 1} a^{p})

.

En effet,

A = a I_{2} + c N

avec

N = (0010)

N^{2} = 0

. Par le binôme :

A^{p} = a^{p} I_{2} + p a^{p - 1} c N = (a^{p} 0 p c a^{p - 1} a^{p})

✓

A^{p} = ⎩ ⎨ ⎧ a^{p} 0 c \frac{a ^{p} - b ^{p}}{a - b} b^{p} (a^{p} 0 p c a^{p - 1} a^{p}) si a \neq = b si a = b

3. On pose

B_{n} = p = 0 \sum n \frac{A ^{p}}{p !}

.

Cas $a \neq = b$ :

B_{n} = (\sum_{p = 0}^{n} \frac{a ^{p}}{p !} 0 c \cdot \frac{1}{a - b} \sum_{p = 0}^{n} \frac{a ^{p} - b ^{p}}{p !} \sum_{p = 0}^{n} \frac{b ^{p}}{p !}) n \to + \infty (e^{a} 0 \frac{c ( e ^{a} - e ^{b} )}{a - b} e^{b}) .

Cas $a = b$ :

B_{n} = (\sum_{p = 0}^{n} \frac{a ^{p}}{p !} 0 c \sum_{p = 1}^{n} \frac{p a ^{p - 1}}{p !} \sum_{p = 0}^{n} \frac{a ^{p}}{p !}) = (\sum_{p = 0}^{n} \frac{a ^{p}}{p !} 0 c \sum_{p = 1}^{n} \frac{a ^{p - 1}}{( p - 1 )!} \sum_{p = 0}^{n} \frac{a ^{p}}{p !}) n \to + \infty (e^{a} 0 c e^{a} e^{a}) .

B = ⎩ ⎨ ⎧ e^{a} 0 \frac{c ( e ^{a} - e ^{b} )}{a - b} e^{b} (e^{a} 0 c e^{a} e^{a}) si a \neq = b si a = b

(On note que la formule du cas

a = b

est la limite de celle du cas

a \neq = b

quand

b \to a

, par continuité.)

4. L'application

f : E \to E

définie par

f (A) = B = exp (A) = p = 0 \sum + \infty \frac{A ^{p}}{p !}

.

- $f$ n'est pas linéaire : en général

exp (A + A^{'}) \neq = exp (A) + exp (A^{'})

(déjà en dimension 1,

e^{x + y} \neq = e^{x} + e^{y}

). Plus simplement,

f (0) = I_{2} \neq = 0

.

- $f$ est injective : si

f (A) = f (A^{'})

avec

A = (a 0 c b)

A^{'} = (a^{'} 0 c^{'} b^{'})

, alors

e^{a} = e^{a^{'}}

e^{b} = e^{b^{'}}

, donc

a = a^{'}

b = b^{'}

. Le coefficient (1,2) donne alors

c = c^{'}

(dans les deux cas

a = b

a \neq = b

). Donc

A = A^{'}

.

- $f$ n'est pas surjective sur

E

: l'image de

f

est contenue dans

G

(le groupe de la question 1(c)), car les coefficients diagonaux de

f (A)

sont

e^{a} > 0

e^{b} > 0

. Par exemple, la matrice

(- 1 0 01) \in E

n'est pas dans l'image (car

e^{a} > 0

pour tout

a \in R

).

- Image de $f$ :

Im (f) = G = {(a 0 c b) : a > 0, b > 0}

. En effet, pour tout élément de

G

avec

a, b > 0

, on peut trouver

α = ln a

β = ln b

γ

tel que

f (α 0 γ β) = (a 0 c b)

, en résolvant sur

γ

Im (f) = G .

138. $Navale$

Soient

a \in R^{*}

M = 0 \frac{1}{a} \frac{1}{a ^{2}} a 0 \frac{1}{a} a^{2} a 0

. Calculer de deux façons

M^{n}

pour tout

n \in N

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139. $Matrices à diagonale dominante$

Soient

n \geq 1

A \in M_{n} (C)

telle que

\forall i \in [[1, n]], ∣ a_{i, i} ∣ > j \neq = i \sum ∣ a_{i, j} ∣.

Montrer que

A

est inversible.

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140. $Matrices unipotentes$

Soit

U_{n}

le sous-ensemble de

T_{n}^{+} (K)

constitué des matrices dont tous les coefficients diagonaux valent

1

. Prouver que

U_{n}

est un sous-groupe de

GL_{n} (K)

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141. $Inverse d'une matrice 4 \times 4$

Montrer que

A = 0 - 9 1 - 3 - 1 2 - 1 0 11111201

est inversible et déterminer son inverse.

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142. $Matrice A_{n} : inverse et propriétés$

Soit

A_{n}

la matrice carrée de taille

n

A_{n} = 0 - 1 ⋮ - 1 1 ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ - 1 1 ⋮ 10

Montrer que

A_{n}

est inversible si et seulement si

n

est pair et calculer son inverse dans ce cas.

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143. $A_{n} = (min (i, j)) : inverse$

Soient

n \in N^{*}

A_{n} = (min (i, j))_{1 \leq i, j \leq n}

. Montrer que

A_{n}

est inversible et calculer son inverse.

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144. $Inversibilité et image/noyau$

Dire si les matrices suivantes sont inversibles ou non. Le cas échéant, calculer leur inverse ou sinon, donner une base de leur image et une base de leur noyau.

Q1-

A_{1} = 0 - 1 0 010 00 - 2

Q2-

A_{2} = 0 - 1 - 1 112 01 - 2

Q3-

A_{3} = - 1 0 - 1 101 02 - 2

Q4-

A_{4} = 20 - 2 000 - 1 01

Q5-

A_{5} = - 1 - 1 - 1 010010

Q6-

A_{6} = 010 0 - 1 0 0 - 1 0

Q7-

A_{7} = 00 - 2 - 1 00 000

Q8-

A_{8} = 115133151

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145. $Taille XXL$

Soit

n \geq 1

. Prouver l'inversibilité et calculer l'inverse des matrices suivantes,

Q1-

0 ⋮ 01 \dots ⋱ ⋱ 0 00 \dots 1 ⋮ 0

Q2-

01 ⋮ 1 1 ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 1 1 ⋮ 10

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146. $Le point de vue élémentaire$

Soient

n \geq 1

A \in M_{n} (R)

telle que

I_{n} + A

soit inversible. On pose alors

B = (I_{n} - A) (I_{n} + A)^{- 1}

Q1-Montrer que

B = (I_{n} + A)^{- 1} (I_{n} - A)

Q2-Prouver que

I_{n} + B

est inversible.

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147. $Identités remarquables matricielles$

Soient

n \geq 1

M = 10 ⋮ 0 1 ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 0 1 ⋮ 11

Q1-Prouver l'inversibilité et inverser

M

par la méthode du pivot de Gauss.

Q2-On pose

J = 00 ⋮ ⋮ 0 1 ⋱ ⋱ \dots 0 ⋱ ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ 010

[(a)] Calculer les puissances de $J$ .
[(b)] Exprimer $M$ en fonction de $J$ .
[(c)] En déduire que $M$ est inversible et retrouver l'expression de son inverse.

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148. $Pivot party$

En utilisant l'algorithme du pivot, vérifier que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse.

Q1-

124 3 - 1 - 2 45 - 1

Q2-

21 - 1 - 1 - 1 - 4 1065

Q3-

22 - 1 - 2 - 3 2 120

Q4-

12112310 311 - 2 43 - 1 5

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149. $Étude d'une matrice 3 \times 3$

Soit

A = 101 0 - 1 - 2 210 .

Q1-Calculer

A^{3} - A

Q2-En déduire que

A

est inversible puis déterminer

A^{- 1}

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150. $Noyau et image d'applic. linéaires$

Les applications suivantes sont clairement linéaires. Déterminer leur noyau et leur image et écrire dans chaque cas la matrice

M

correspondante rapportée aux bases canoniques.

Q1-

f : R^{3} \to R^{3}, (x, y, z) \mapsto (x, y, 0)

Q2-

g : R^{2} \to R^{3}, (x, y) \mapsto (x - y, x + y, x + 2 y)

Q3-

h : R^{3} \to R, (x, y, z) \mapsto x - 3 y + 2 z

Q4-

θ : R_{3} [X] \to R_{3} [X], P \mapsto P^{'}

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151. $Une matrice de projection$

Soit

A = \frac{1}{3} 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

considérée comme matrice d'un endomorphisme

f

R^{3}

dans la base canonique. En déterminer l'image et le noyau. Montrer qu'il s'agit d'un projecteur.

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152. $Base du noyau et de l'image$

Déterminer des bases du noyau et de l'image de

A = - 11 01 7100117321

. Donner aussi des systèmes d'équations cartésiennes (avec un nombre minimum d'équations) de

ker A

Im A

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153. $Sans calculs$

Soit

A = 0 - 1 10 20000000 02 - 2 0

. Déterminer sans calculs des bases de

ker A

Im A

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154. $Avec paramètre$

Discuter le rang de

A = 21 a 4 1023 1 - 1 12 3014 .

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155. $Matrices de rang 1$

Soit

M

une matrice carrée de taille

n \geq 2

à coefficients réels de rang

1

Q1-Montrer qu'il existe deux vecteurs colonnes

U

V

tels que

M = U V^{⊤}

Q2-Exprimer les puissances entières de

M

en fonction de

M

et de

tr (M)

Q3-À quelle condition une matrice de rang

1

est-elle une matrice de projection ?

Q4-Quelles sont les matrices de rang

1

qui sont nilpotentes ?

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156. $rg (A) = rg (A^{⊤} A)$

Soit

A

une matrice réelle. Montrer que

rg A = rg A^{⊤} A = rg A A^{⊤}

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157. $f : M_{n} \to R multiplicative$

On considère une application

f

M_{n} (R)

dans

R

, non constamment égale à

0

1

, telle que :

\forall (A, B) \in (M_{n} (R))^{2}, f (A B) = f (A) f (B)

Q1-Montrer que pour toute matrice inversible

A

M_{n} (R)

f (A)

est non nul.

Q2-Soit

A

une matrice de rang

r

, strictement inférieur à

n

[(a)] Montrer l'existence de $r + 1$ matrices, notées $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{r + 1}$ , toutes équivalentes à $A$ et telles que le produit $A_{1} A_{2} \dots A_{r + 1}$ soit nul.
[(b)] En déduire que $f (A) = 0$ .

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158. $Vecteur propre, rang de A - λ I$

Soit

A \in M_{n} (K)

. On suppose qu'il existe

λ \in K

U \in M_{n, 1} (K)

non nul tel que

A U = λ U

. Montrer qu'il existe

V \in M_{n, 1} (K)

non nul tel que

A^{⊤} V = λV

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159. $Rang r : factorisation col./ligne$

Montrer qu'une matrice

M \in M_{n} (K)

est de rang

r

si et seulement si il existe deux familles libres

(X_{1}, \dots, X_{r})

(Y_{1}, \dots, Y_{r})

de vecteurs colonnes de

M_{n, 1} (K)

telles que

M = X_{1} Y_{1}^{⊤} + \dots + X_{r} Y_{r}^{⊤}

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160. $Matrices d'endomorphismes, 2 bases$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

3

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

une base de

E

. On considère les matrices

A = 413 - 2 0 - 2 - 2 - 1 - 1 et D = 000010002

Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans la base

B

est

A

Q1-Montrer qu'il existe une base

C = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

E

telle que la matrice de

f

dans

C

soit

D

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161. $Passage obligé$

Soient

E = R^{2}

u = (1, 1)

v = (1, - 1)

B = (u, v)

Q1-Justifier que

B

est une base de

E

Q2-Donner les matrices de passage entre

B

et la base canonique

B_{0}

E

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162. $Changements de base$

Soit

f

l'application de

R^{3}

dans

R^{3}

définie par

(x, y, z) ⟼ (2 x - y, y - z, - z + 2 x) .

Q1-Calculer la matrice

M

f

dans la base canonique

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

R^{3}

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Exercices de Matrices, Sup (prépa) (page 6)

136.

137. $Algèbre des matrices trig. sup.$

138. $Navale$

139. $Matrices à diagonale dominante$

140. $Matrices unipotentes$

141. $Inverse d'une matrice 4 \times 4$

142. $Matrice A_{n} : inverse et propriétés$

143. $A_{n} = (min (i, j)) : inverse$

144. $Inversibilité et image/noyau$

145. $Taille XXL$

146. $Le point de vue élémentaire$

147. $Identités remarquables matricielles$

148. $Pivot party$

149. $Étude d'une matrice 3 \times 3$

150. $Noyau et image d'applic. linéaires$

151. $Une matrice de projection$

152. $Base du noyau et de l'image$

153. $Sans calculs$

154. $Avec paramètre$

155. $Matrices de rang 1$

156. $rg (A) = rg (A^{⊤} A)$

157. $f : M_{n} \to R multiplicative$

158. $Vecteur propre, rang de A - λ I$

159. $Rang r : factorisation col./ligne$

160. $Matrices d'endomorphismes, 2 bases$

161. $Passage obligé$

162. $Changements de base$

136.

137.Algèbre des matrices trig. sup.

138.Navale

139.Matrices à diagonale dominante

140.Matrices unipotentes

141.Inverse d'une matrice 4×4

142.Matrice An​ : inverse et propriétés

143.An​=(min(i,j)) : inverse

144.Inversibilité et image/noyau

145.Taille XXL

146.Le point de vue élémentaire

147.Identités remarquables matricielles

148.Pivot party

149.Étude d'une matrice 3×3

150.Noyau et image d'applic. linéaires

151.Une matrice de projection

152.Base du noyau et de l'image

153.Sans calculs

154.Avec paramètre

155.Matrices de rang 1

156.rg(A)=rg(A⊤A)

157.f:Mn​→R multiplicative

158.Vecteur propre, rang de A−λI

159.Rang r : factorisation col./ligne

160.Matrices d'endomorphismes, 2 bases

161.Passage obligé

162.Changements de base

137. $Algèbre des matrices trig. sup.$

138. $Navale$

139. $Matrices à diagonale dominante$

140. $Matrices unipotentes$

141. $Inverse d'une matrice 4 \times 4$

142. $Matrice A_{n} : inverse et propriétés$

143. $A_{n} = (min (i, j)) : inverse$

144. $Inversibilité et image/noyau$

145. $Taille XXL$

146. $Le point de vue élémentaire$

147. $Identités remarquables matricielles$

148. $Pivot party$

149. $Étude d'une matrice 3 \times 3$

150. $Noyau et image d'applic. linéaires$

151. $Une matrice de projection$

152. $Base du noyau et de l'image$

153. $Sans calculs$

154. $Avec paramètre$

155. $Matrices de rang 1$

156. $rg (A) = rg (A^{⊤} A)$

157. $f : M_{n} \to R multiplicative$

158. $Vecteur propre, rang de A - λ I$

159. $Rang r : factorisation col./ligne$

160. $Matrices d'endomorphismes, 2 bases$

161. $Passage obligé$

162. $Changements de base$