Exercices de Matrices en maths Sup (prépa) (page 2)

29. $Inverses par pivot de Gauss (lot 2)$

Montrer que les matrices carrées d'ordre

n \geq 2

suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss.

Q1-Matrice triangulaire supérieure à coefficients

1

sur la diagonale et

- a

au-dessus.

Q2-Matrice triangulaire supérieure à coefficients

1

sur et au-dessus de la diagonale.

Q3-Matrice triangulaire supérieure avec

1, 2, \dots, n

sur les lignes.

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30. $Produit de symétriques symétrique$

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.

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31. $S_{n} et A_{n} supplémentaires dans M_{n}$

Montrer que

S_{n} (R)

A_{n} (R)

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

M_{n} (R)

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32. $Décomposition sym. + nilpotente$

Montrer que toute matrice de

M_{n} (R)

peut s'écrire comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice nilpotente.

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33. $Algèbre M (a, b, c) triangulaires$

Soit

E

l'ensemble des matrices de la forme

M (a, b, c) = a 00 b a 0 c b a

avec

a, b, c \in R

.
Notre objectif est d'établir que l'inverse d'une matrice inversible de

E

appartient encore à

E

, sans pour autant calculer cet inverse.

Q1-Montrer que

(E, +, \cdot)

est un

R

-espace vectoriel dont on précisera la dimension.

Q2-Montrer que

(E, +, \times)

est un anneau commutatif.

Q3-À quelle condition

M (a, b, c)

est-elle inversible ? Montrer que

A^{- 1} \in E

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34. $Matrices de permutation$

Soit

n \in N ∖ {0, 1}

. Pour

σ \in S_{n}

, on note

P (σ) = (δ_{i, σ (j)})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (R)

la matrice de permutation associée à

σ

Q1-Montrer que

\forall (σ, σ^{'}) \in S_{n}^{2}

P (σ \circ σ^{'}) = P (σ) P (σ^{'})

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35. $Algèbre de matrices type Cayley$

Soit

E

l'ensemble des matrices de

M_{2} (K)

de la forme

A = (a + b - b b a - b)

avec

(a, b) \in K^{2}

Q1-Montrer que

E

est un sous-espace vectoriel de

M_{2} (K)

, en donner une base.

Q2-Montrer que

E

est un sous-anneau commutatif de

M_{2} (K)

Q3-Déterminer les inversibles de

E

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36. $Matrices centro-symétriques$

On dit qu'une matrice

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)

est centro-symétrique si

\forall (i, j) \in [[1; n]]^{2}

a_{n + 1 - i, n + 1 - j} = a_{i, j}

Q1-Montrer que le sous-ensemble

C

des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel.

Q2-Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques est centro-symétrique.

Q3-Soit

A

centro-symétrique inversible. Montrer que

A^{- 1}

est centro-symétrique.

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37. $Matrices d'applications linéaires$

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires

f

suivantes.

Q1-

f : R^{3} \to R^{2}

(x, y, z) \mapsto (x + y, y - 2 x + z)

Q2-

f : R^{3} \to R^{3}

(x, y, z) \mapsto (y + z, z + x, x + y)

Q3-

f : R_{3} [X] \to R_{3} [X]

P \mapsto P (X + 1)

Q4-

f : R_{3} [X] \to R^{4}

P \mapsto (P (1), P (2), P (3), P (4))

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38. $Projecteur sur P parallèlement à D$

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de

R^{3}

P = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + 2 y - z = 0}

D = Vect (w)

où

w = (1, 0, - 1)

.
On note

B = (i, j, k)

la base canonique de

R^{3}

p

la projection sur

P

parallèlement à

D

q

celle sur

D

parallèlement à

P

, et

s

la symétrie par rapport à

P

parallèlement à

D

Q1-Former la matrice de

p

dans

B

Q2-En déduire les matrices, dans

B

, de

q

et de

s

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39. $Matrice de φ (P) = P (X + 1)$

Soit

φ

l'endomorphisme de

R_{n} [X]

défini par

φ (P) = P (X + 1)

Q1-Écrire la matrice

A

φ

dans la base canonique

B

R_{n} [X]

Q2-Justifier que

A

est inversible et calculer

A^{- 1}

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40. $Matrice binomiale et translation$

Soit

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n + 1} \in M_{n + 1} (R)

la matrice dont le coefficient général est

a_{i, j} = (i - 1 j - 1)

.
Soit

φ \in L (R_{n} [X])

l'endomorphisme représenté par

A

dans la base canonique.

Q1-Exprimer simplement

φ (P)

pour tout

P \in R_{n} [X]

Q2-Calculer

A^{m}

pour tout

m \in N

Q3-

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41. $f (z) = z + a \overset{z}{ˉ} dans C$

Soient

a \in C^{*}

f : C \to C

définie par

f (z) = z + a \overline{z}

Q1-Former la matrice de

f

dans la base

(1, i)

Q2-Déterminer image et noyau de

f

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42. $Base de Jordan, f^{3} = 0, f^{2} \neq = 0$

Soit

E

K

-espace vectoriel de dimension

3

f \in L (E)

tel que

f^{2} \neq = 0

f^{3} = 0

.
Montrer qu'il existe une base de

E

dans laquelle la matrice de

f

est

010001000

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43. $f^{n} = 0, f^{n - 1} \neq = 0 : base adaptée$

Soit

f

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n \in N^{*}

vérifiant

f^{n} = 0

f^{n - 1} \neq = 0

Q1-Justifier qu'il existe

x \in E

tel que

(x, f (x), \dots, f^{n - 1} (x))

soit une base de

E

Q2-Déterminer les matrices de

f, f^{2}, \dots, f^{n - 1}

dans cette base.

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44. $Matrice dans deux bases$

Soit

E

K

-espace vectoriel muni d'une base

B = (i, j, k)

.
Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans

B

est

A = 211 - 1 0 - 1 - 1 - 1 0

Q1-Calculer

A^{2}

. Qu'en déduire sur

f

Q2-Déterminer une base de

Im f

Ker f

Q3-Quelle est la matrice de

f

relativement à une base adaptée ?

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45. $Trace nulle et changement de base$

Soit

A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

. On note

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

la base canonique de

R^{3}

. Soit

f

l'endomorphisme dont la matrice dans

B

est

A

Q1-Déterminer

Ker f

Im f

. Montrer qu'ils sont supplémentaires.

Q2-Déterminer une base adaptée et écrire la matrice de

f

dans cette base.

Q3-Décrire

f

comme composée de transformations élémentaires.

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46. $f^{n} = 0, f^{n - 1} \neq = 0 : structure$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension

n \in N^{*}

f \in L (E)

tel que

f^{n} = 0

f^{n - 1} \neq = 0

.
Montrer qu'il existe une base

B

E

pour laquelle

Mat_{B} (f)

est la matrice compagnon nilpotente.

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47. $f^{3} + f = 0, f \neq = 0 en dim 3$

Soit

f

un endomorphisme non nul d'un

R

-espace vectoriel

E

de dimension

3

vérifiant

f^{3} + f = 0

Q1-Démontrer les expressions de

y

z

dans la décomposition

x = y + z

Q2-Montrer que

E = Ker f \oplus Ker (f^{2} + Id)

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48. $Diagonalisation de A \in M_{3}$

Soit

A = 3 - 1 1 111 - 3 1 - 1

. On pose

ε_{1} = (1, 1, 1)

ε_{2} = (1, - 1, 0)

ε_{3} = (1, 0, 1)

B^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

Q1-Montrer que

B^{'}

est une base de

R^{3}

Q2-Écrire la matrice de

f

dans cette base.

Q3-Déterminer une base de

Ker f

et de

Im f

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49. $Réduction de f dans R^{3} (1)$

Soit

f \in L (R^{3})

représenté dans la base canonique

B

par

201111 - 1 00

.
Soit

C = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

avec

ε_{1} = (1, 0, 1)

ε_{2} = (- 1, 1, 0)

ε_{3} = (1, 1, 1)

Q1-Montrer que

C

est une base.

Q2-Déterminer la matrice de

f

dans

C

Q3-Calculer la matrice de

f^{n}

dans

B

pour tout

n \in N

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50. $Réduction de f dans R^{3} (2)$

Soit

f

l'endomorphisme dont la matrice dans

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

est

A = 2 - 2 1 - 1 11 0 - 2 3

.
Soit

B^{'} = (ε_{1}, ε_{2}, ε_{3})

avec

ε_{1} = e_{1} + e_{2} - e_{3}

ε_{2} = e_{1} - e_{3}

ε_{3} = e_{1} - e_{2}

Q1-Montrer que

B^{'}

est une base et former

D = Mat_{B^{'}} f

Q2-Exprimer

P

et calculer

P^{- 1}

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51. $Réduction avec diag(0,1,2)$

On considère

A = 413 - 2 0 - 2 - 2 - 1 - 1

D = diag (0, 1, 2)

. Soit

f

l'endomorphisme dont la matrice dans

B

est

A

Q1-Montrer qu'il existe une base

C

telle que la matrice de

f

dans

C

soit

D

Q2-Déterminer

P

telle que

A = P D P^{- 1}

. Calculer

P^{- 1}

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52. $Matrice de passage entre deux bases$

Soient

b = (i, j)

B = (I, J)

deux bases d'un

R

-espace vectoriel de dimension

2

P

la matrice de passage de

b

B

Q1-Retrouver la relation entre

v

V

Q2-Retrouver la relation entre

m

M

Q3-Comment calculer

m^{n}

connaissant deux vecteurs propres non colinéaires de

f

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53. $Nouvelle base et endomorphisme$

Soit

f \in L (E)

dont la matrice dans la base

e

est

A = 00 - 1 111102

.
On pose

e_{1}^{'} = e_{1} + e_{3}

e_{2}^{'} = e_{1} + e_{2}

e_{3}^{'} = e_{1} + e_{2} + e_{3}

Q1-Montrer que

e^{'}

est une base et déterminer la matrice

B

f

dans

e^{'}

Q2-Calculer

A^{n}

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54. $Matrice et endo, deux bases (1)$

Soit

f \in L (E)

dont la matrice dans

B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})

est

A = 0 - 1 0 221111

.
On pose

ε_{1} = e_{1} + e_{3}

ε_{2} = e_{1} + e_{2}

ε_{3} = e_{1} + e_{2} + e_{3}

Q1-Montrer que

B^{'}

est une base et déterminer la matrice de

f

dans

B^{'}

Q2-Calculer

A^{n}

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Exercices de Matrices, Sup (prépa) (page 2)

28.

29. $Inverses par pivot de Gauss (lot 2)$

30. $Produit de symétriques symétrique$

31. $S_{n} et A_{n} supplémentaires dans M_{n}$

32. $Décomposition sym. + nilpotente$

33. $Algèbre M (a, b, c) triangulaires$

34. $Matrices de permutation$

35. $Algèbre de matrices type Cayley$

36. $Matrices centro-symétriques$

37. $Matrices d'applications linéaires$

38. $Projecteur sur P parallèlement à D$

39. $Matrice de φ (P) = P (X + 1)$

40. $Matrice binomiale et translation$

41. $f (z) = z + a \overset{z}{ˉ} dans C$

42. $Base de Jordan, f^{3} = 0, f^{2} \neq = 0$

43. $f^{n} = 0, f^{n - 1} \neq = 0 : base adaptée$

44. $Matrice dans deux bases$

45. $Trace nulle et changement de base$

46. $f^{n} = 0, f^{n - 1} \neq = 0 : structure$

47. $f^{3} + f = 0, f \neq = 0 en dim 3$

48. $Diagonalisation de A \in M_{3}$

49. $Réduction de f dans R^{3} (1)$

50. $Réduction de f dans R^{3} (2)$

51. $Réduction avec diag(0,1,2)$

52. $Matrice de passage entre deux bases$

53. $Nouvelle base et endomorphisme$

54. $Matrice et endo, deux bases (1)$

28.

29.Inverses par pivot de Gauss (lot 2)

30.Produit de symétriques symétrique

31.Sn​ et An​ supplémentaires dans Mn​

32.Décomposition sym. + nilpotente

33.Algèbre M(a,b,c) triangulaires

34.Matrices de permutation

35.Algèbre de matrices type Cayley

36.Matrices centro-symétriques

37.Matrices d'applications linéaires

38.Projecteur sur P parallèlement à D

39.Matrice de φ(P)=P(X+1)

40.Matrice binomiale et translation

41.f(z)=z+azˉ dans C

42.Base de Jordan, f3=0, f2=0

43.fn=0, fn−1=0 : base adaptée

44.Matrice dans deux bases

45.Trace nulle et changement de base

46.fn=0, fn−1=0 : structure

47.f3+f=0, f=0 en dim 3

48.Diagonalisation de A∈M3​

49.Réduction de f dans R3 (1)

50.Réduction de f dans R3 (2)

51.Réduction avec diag(0,1,2)

52.Matrice de passage entre deux bases

53.Nouvelle base et endomorphisme

54.Matrice et endo, deux bases (1)

29. $Inverses par pivot de Gauss (lot 2)$

30. $Produit de symétriques symétrique$

31. $S_{n} et A_{n} supplémentaires dans M_{n}$

32. $Décomposition sym. + nilpotente$

33. $Algèbre M (a, b, c) triangulaires$

34. $Matrices de permutation$

35. $Algèbre de matrices type Cayley$

36. $Matrices centro-symétriques$

37. $Matrices d'applications linéaires$

38. $Projecteur sur P parallèlement à D$

39. $Matrice de φ (P) = P (X + 1)$

40. $Matrice binomiale et translation$

41. $f (z) = z + a \overset{z}{ˉ} dans C$

42. $Base de Jordan, f^{3} = 0, f^{2} \neq = 0$

43. $f^{n} = 0, f^{n - 1} \neq = 0 : base adaptée$

44. $Matrice dans deux bases$

45. $Trace nulle et changement de base$

46. $f^{n} = 0, f^{n - 1} \neq = 0 : structure$

47. $f^{3} + f = 0, f \neq = 0 en dim 3$

48. $Diagonalisation de A \in M_{3}$

49. $Réduction de f dans R^{3} (1)$

50. $Réduction de f dans R^{3} (2)$

51. $Réduction avec diag(0,1,2)$

52. $Matrice de passage entre deux bases$

53. $Nouvelle base et endomorphisme$

54. $Matrice et endo, deux bases (1)$