Exercices de Matrices en maths Sup (prépa) (page 5)

110. $CCP — matrice de passage$

ccp

Soient

b = (i, j)

B = (I, J)

deux bases d'un

R

-espace vectoriel de dimension

2

P

la matrice de passage de

b

B

.
Pour

x \in E

, notons

v = Mat_{b} x

V = Mat_{B} x

Q1-Retrouver la relation entre

v

V

Q2-Soient

f \in L (E)

m = Mat_{b} f

M = Mat_{B} f

. Retrouver la relation entre

m

M

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111. $CCP — système 3 \times 3 param. a, b$

ccp

Discuter suivant

a

b

et résoudre

⎩ ⎨ ⎧ a x + 2 b y + 2 z = 1 2 x + ab y + 2 z = b 2 x + 2 b y + a z = 1.

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112. $CCP — système 4 \times 4 param. a, b$

ccp

Résoudre, en discutant selon

a, b \in R

le système

⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z + t = 1 x + a y + z + t = b x + y + a z + t = b^{2} x + y + z + a t = b^{3} .

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113. $CCP — X = tr (X) A + B$

ccp

Pour

A

B

fixées dans

M_{n} (R)

, résoudre dans

M_{n} (R)

l'équation

X = tr (X) A + B

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114. $Centrale — sous-groupe fini de G L_{n}$

centrale

Soient

K = R

C

H

une partie non vide et finie de

GL_{n} (K)

stable par multiplication. Soient

q = ∣ H ∣

P = \frac{1}{q} M \in H \sum M

Q1-Soit

M \in H

. Montrer que

k \in N^{*} \mapsto M^{k} \in H

n'est pas injective. En déduire que

H

est un sous-groupe de

GL_{n} (K)

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115. $Centrale — f endo. de C$

centrale

Soit

f

un endomorphisme du

R

-espace vectoriel

C

Q1-Montrer qu'il existe d'uniques complexes

a, b

tels que

\forall z \in C, f (z) = a z + b \overset{z}{ˉ}

Q2-Exprimer en fonction de

a

b

le déterminant de

f

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116. $Inverses par pivot de Gauss$

Montrer que les matrices carrées d'ordre

n \geq 2

suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss:

(a)

A = 1 (0) - a ⋱ (0) ⋱ ⋱ - a 1

(b)

B = 1 (0) (1) ⋱ 1

(c)

C = 1 (0) 2 ⋱ \dots ⋱ ⋱ n ⋮ 21

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117. $Systèmes param. m \in C$

Résoudre en fonction du paramètre

m \in C

, les systèmes suivants d'inconnues complexes :

(a)

⎩ ⎨ ⎧ x - y + z = m x + m y - z = 1 x - y - z = 1

(b)

⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z = 1 x + m y + z = m x + y + m z = m^{2}

(c)

⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z + t = 1 x + m y + z + t = m x + y + m z + t = m + 1

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118. $Rang 1 : f est-il projecteur ?$

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension finie

n > 1

.

Montrer que

f \in L (E)

de rang 1 n'est pas forcément un projecteur.

Montrer que

f \in L (E)

de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.

Trouver une base de

L (E)

constituée de projecteurs.

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119. $Mines — rang de M, blocs A et B$

mines

Soit

A, B \in M_{n} (K)

Q1-Exprimer le rang de

M = (A A A B)

Q2-Calculer l'inverse de

M

lorsque cela est possible.

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120. $Mines — famille (X_{i}^{t} Y_{j}) libre$

mines

Soient

(X_{1}, \dots, X_{n})

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

deux familles libres d'éléments de

M_{n, 1} (R)

.
Établir que la famille

(X_{i}^{t} Y_{j})_{1 \leq i, j \leq n}

est une base de

M_{n} (R)

constituée de matrices de rang

1

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121. $Mines — A + A^{- 1} = I_{n} : A^{k} + A^{- k}$

mines

Soit

A \in G L_{n} (R)

vérifiant

A + A^{- 1} = I_{n}

.
Pour

k \in N

, calculer

A^{k} + A^{- k}

122. $Mines — sous-groupe et trace nulle$

mines

Q1-Soit

G

un sous-groupe fini de

G L_{n} (R)

tel que

g \in G \sum tr g = 0

. Montrer que

g \in G \sum g = 0

Q2-Soit

G

un sous-groupe fini de

G L_{n} (R)

V

un sous-espace vectoriel de

R^{n}

stable par les éléments de

G

. Montrer qu'il existe un supplémentaire de

V

dans

R^{n}

stable par tous les éléments de

G

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123. $Mines — trace et endomorphismes$

mines

Q1-Soit

f

une forme linéaire sur

M_{n} (R)

vérifiant

\forall A, B \in M_{n} (R), f (A B) = f (B A)

. Montrer que

f

est proportionnelle à la trace.

Q2-Soit

g

un endomorphisme de l'espace vectoriel

M_{n} (R)

vérifiant

g (A B) = g (B A)

pour toutes

A, B \in M_{n} (R)

g (I_{n}) = I_{n}

. Montrer que

g

conserve la trace.

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124. $Entrez dans la danse$

Calculez

i 40 01 - 1 2 + 2 i - 2 i 0 - 2 20 2 - i - i i /2 .

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125. $Cayley-Hamilton en dimension 2$

Soit

M = (a c b d) \in M_{2} (C)

. Établir que

M^{2} - (a + d) M + (a d - b c) I_{2} = O_{2} .

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126. $A hue et à dia$

Soient

n \in N^{*}

U = (1)_{1 \leq i, j \leq n}

A \in M_{n} (R)

. On note

σ (A)

la somme des coefficients de

A

. Exprimer

U A U

en fonction de

σ (A)

et de

U

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127. $A B = I + A + A^{2} implique A B = B A$

Soient

A

B

dans

M_{n} (C)

telles que

A B = I_{n} + A + A^{2} .

Montrer que

A B = B A

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128. $Matrice A avec a_{i, j} = i + j - 1$

On considère dans

M_{n} (R)

les matrices

A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

B = (b_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n}

a_{i, j} = i + j, b_{i, j} = i - j .

Calculer le terme général des matrices

C = A - B

D = A B

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129. $Groupe G = {M (x)} dans M_{3} (R)$

Montrer que l'ensemble

G

des matrices

M (x) = 1 - x^{2} - 2 x 010 0 x 1

où

x \in R

est un sous-groupe de

GL_{3} (R)

isomorphe à

(R, +)

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130. $Matrices stochastiques$

On dit qu'une matrice de

M_{n, p} (R)

est stochastique si elle est à coefficients positifs et si la somme des éléments de chaque colonne vaut

1

. Soient

A \in M_{n, p} (R)

B \in M_{p, q} (R)

deux matrices stochastiques. Montrer que

A B

est stochastique.

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131. $Puissances$

Calculer les puissances des matrices

A

B

C

D

suivantes :

Q1-

100210321

Q2-

(a 0 b a)

Q3-

(cos (θ) sin (θ) - sin (θ) cos (θ))

Q4-

(12 - 1 4)

Voir le corrigé

A = 100210321 = I_{3} + N

avec

N = 000200320

.

Calculons

N^{2} = 000000400

N^{3} = 0

N

est nilpotente d'ordre 3, et

I_{3}

commute avec

N

, donc par la formule du binôme :

A^{n} = (I_{3} + N)^{n} = k = 0 \sum 2 (k n) N^{k} = I_{3} + n N + (2 n) N^{2}

(pour

n \geq 2

; pour

n = 0

n = 1

, la formule reste valable avec

(2 0) = (2 1) = 0

A^{n} = 100 2 n 10 2 n (n - 1) + 3 n 2 n 1 = 100 2 n 10 2 n^{2} + n 2 n 1 .

B = (a 0 b a) = a I_{2} + b N

avec

N = (0010)

N^{2} = 0

a I_{2}

commute avec

N

, donc par la formule du binôme :

B^{n} = (a I_{2} + b N)^{n} = k = 0 \sum 1 (k n) a^{n - k} b^{k} N^{k} = a^{n} I_{2} + n a^{n - 1} b N .

B^{n} = (a^{n} 0 n a^{n - 1} b a^{n}) .

C = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

est la matrice de rotation d'angle

θ

.

Par récurrence immédiate (ou en utilisant les nombres complexes

e^{i θ}

) :

C^{n} = (cos (n θ) sin (n θ) - sin (n θ) cos (n θ)) .

En effet, si

C^{n} = R (n θ)

(matrice de rotation d'angle

n θ

), alors

C^{n + 1} = C^{n} \cdot C = R (n θ) \cdot R (θ) = R ((n + 1) θ)

par les formules d'addition.

4.

D = (12 - 1 4)

. Cherchons un polynôme annulateur.

D^{2} = (1 - 2 2 + 8 - 1 - 4 - 2 + 16) = (- 1 10 - 5 14)

.

Le polynôme caractéristique est

χ_{D} (X) = (X - 1) (X - 4) - (- 1) (2) = X^{2} - 5 X + 4 + 2 = X^{2} - 5 X + 6 = (X - 2) (X - 3)

.

Vérifions :

D^{2} - 5 D + 6 I_{2} = (- 1 10 - 5 14) - (510 - 5 20) + (6006) = (0000)

✓

Donc

D^{2} = 5 D - 6 I_{2}

. On cherche

D^{n} = α_{n} D + β_{n} I_{2}

.

De

D^{2} = 5 D - 6 I_{2}

, on a la récurrence

α_{n + 1} = 5 α_{n} - 6 α_{n - 1}

(non, procédons par division euclidienne).

On divise

X^{n}

par

(X - 2) (X - 3)

X^{n} = Q (X) (X - 2) (X - 3) + a X + b

.

En évaluant en

2

3

:
-

2^{n} = 2 a + b

3^{n} = 3 a + b

Donc

a = 3^{n} - 2^{n}

b = 2 \cdot 2^{n} - 3^{n} \cdot 2 + 3^{n} = 3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n}

.

Vérifions :

b = 2 \cdot 2^{n} - (3^{n} - 2^{n}) \cdot 2 + ...

Non, reprenons.

b = 2^{n} - 2 a = 2^{n} - 2 (3^{n} - 2^{n}) = 3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n}

.

Donc

D^{n} = (3^{n} - 2^{n}) D + (3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n}) I_{2}

D^{n} = (3^{n} - 2^{n}) (12 - 1 4) + (3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n}) (1001)

D^{n} = (3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n} + 3^{n} - 2^{n} 2 (3^{n} - 2^{n}) - (3^{n} - 2^{n}) 3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 3^{n} + 4 (3^{n} - 2^{n})) = (2^{n + 1} - 3^{n} 2 \cdot 3^{n} - 2^{n + 1} 2^{n} - 3^{n} 2 \cdot 3^{n} - 2^{n}) .

132. $Suites récurrentes couplées$

Soient

(u_{n})_{n \in N}

(v_{n})_{n \in N}

(w_{n})_{n \in N}

les trois suites de nombres réels définies par

u_{0}, v_{0}, w_{0} \in R

\forall n \geq 0

⎩ ⎨ ⎧ u_{n + 1} = v_{n} + w_{n} v_{n + 1} = u_{n} + w_{n} w_{n + 1} = u_{n} + v_{n}

Déterminer les expressions des termes généraux de

(u_{n})

(v_{n})

(w_{n})

en fonction de

n

u_{0}

v_{0}

w_{0}

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133. $Avec polynôme annulateur$

Soit

A

une matrice de

M_{p} (R)

telle que

A^{3} - A^{2} - 4 A + 4 I_{p} = 0_{p} .

Établir que, pour tout entier naturel

n

A^{n}

appartient à

vect (I_{p}, A, A^{2})

et exprimer

A^{n}

en fonction de

I_{p}

A

A^{2}

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134. $Petits calculs$

On considère les deux matrices

A = 100001010 et B = 010001100 .

Q1-Calculer

A^{2}

B^{2}

B^{3}

. En déduire

A^{n}

B^{n}

pour tout entier

n \geq 1

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135. $Un calcul de puissances$

Soient

a

b

, deux nombres complexes. Calculer les puissances de la matrice

M = a + b 0 a 0 b 0 a 0 a + b .

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Exercices de Matrices, Sup (prépa) (page 5)

109.

110. $CCP — matrice de passage$

111. $CCP — système 3 \times 3 param. a, b$

112. $CCP — système 4 \times 4 param. a, b$

113. $CCP — X = tr (X) A + B$

114. $Centrale — sous-groupe fini de G L_{n}$

115. $Centrale — f endo. de C$

116. $Inverses par pivot de Gauss$

117. $Systèmes param. m \in C$

118. $Rang 1 : f est-il projecteur ?$

119. $Mines — rang de M, blocs A et B$

120. $Mines — famille (X_{i}^{t} Y_{j}) libre$

121. $Mines — A + A^{- 1} = I_{n} : A^{k} + A^{- k}$

122. $Mines — sous-groupe et trace nulle$

123. $Mines — trace et endomorphismes$

124. $Entrez dans la danse$

125. $Cayley-Hamilton en dimension 2$

126. $A hue et à dia$

127. $A B = I + A + A^{2} implique A B = B A$

128. $Matrice A avec a_{i, j} = i + j - 1$

129. $Groupe G = {M (x)} dans M_{3} (R)$

130. $Matrices stochastiques$

131. $Puissances$

132. $Suites récurrentes couplées$

133. $Avec polynôme annulateur$

134. $Petits calculs$

135. $Un calcul de puissances$

109.

110.CCP — matrice de passage

111.CCP — système 3×3 param. a,b

112.CCP — système 4×4 param. a,b

113.CCP — X=tr(X)A+B

114.Centrale — sous-groupe fini de GLn​

115.Centrale — f endo. de C

116.Inverses par pivot de Gauss

117.Systèmes param. m∈C

118.Rang 1 : f est-il projecteur ?

119.Mines — rang de M, blocs A et B

120.Mines — famille (Xi​tYj​) libre

121.Mines — A+A−1=In​ : Ak+A−k

122.Mines — sous-groupe et trace nulle

123.Mines — trace et endomorphismes

124.Entrez dans la danse

125.Cayley-Hamilton en dimension 2

126.A hue et à dia

127.AB=I+A+A2 implique AB=BA

128.Matrice A avec ai,j​=i+j−1

129.Groupe G={M(x)} dans M3​(R)

130.Matrices stochastiques

131.Puissances

132.Suites récurrentes couplées

133.Avec polynôme annulateur

134.Petits calculs

135.Un calcul de puissances

110. $CCP — matrice de passage$

111. $CCP — système 3 \times 3 param. a, b$

112. $CCP — système 4 \times 4 param. a, b$

113. $CCP — X = tr (X) A + B$

114. $Centrale — sous-groupe fini de G L_{n}$

115. $Centrale — f endo. de C$

116. $Inverses par pivot de Gauss$

117. $Systèmes param. m \in C$

118. $Rang 1 : f est-il projecteur ?$

119. $Mines — rang de M, blocs A et B$

120. $Mines — famille (X_{i}^{t} Y_{j}) libre$

121. $Mines — A + A^{- 1} = I_{n} : A^{k} + A^{- k}$

122. $Mines — sous-groupe et trace nulle$

123. $Mines — trace et endomorphismes$

124. $Entrez dans la danse$

125. $Cayley-Hamilton en dimension 2$

126. $A hue et à dia$

127. $A B = I + A + A^{2} implique A B = B A$

128. $Matrice A avec a_{i, j} = i + j - 1$

129. $Groupe G = {M (x)} dans M_{3} (R)$

130. $Matrices stochastiques$

131. $Puissances$

132. $Suites récurrentes couplées$

133. $Avec polynôme annulateur$

134. $Petits calculs$

135. $Un calcul de puissances$