Exercices de Matrices en maths Sup (prépa) (page 7)

164. $f (P) = (A P)^{''} : étude de l'endo.$

Soient

E = R_{2} [X]

A = a + b X + c X^{2}

un élément de

E

. On définit l'application

f

par :

\forall P \in E, f (P) = (A P)^{''}

Q1-Montrer que

f

est un endomorphisme de

E

Q2-Donner la matrice

M

f

dans la base canonique de

E

Q3-Déterminer une condition sur

A

pour que

f

soit bijective.

Q4-On pose

A = X^{2} + 1

. Déterminer

M^{- 1}

M^{n}

pour tout

n \in N

dans ce cas.

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165. $f (P) = P (X + 2) + P (X) - 2 P (X + 1)$

Soit

f : P \in R_{3} [X] \mapsto P (X + 2) + P (X) - 2 P (X + 1)

Q1-Montrer que

f

est un endomorphisme de

R_{3} [X]

Q2-Déterminer la matrice de

f

dans la base canonique de

R_{3} [X]

. En déduire

ker f

Im f

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166. $f (X) = A X - X B : noyau et image$

Soient

A, B \in M_{n} (R)

f : {M_{n} (R) ⟶ M_{n} (R) X ⟼ X + tr (A X) B

Q1-Montrer que

f

est un endomorphisme de

M_{n} (R)

Q2-Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur

A

B

pour que

f

soit une symétrie.

Q3-Déterminer la base et la direction de

f

dans ce cas.

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167. $Im f = ker f ssi n pair$

Soit

f

un endomorphisme d'un espace vectoriel

E

de dimension

n \in N^{*}

. Montrer que

Im f = ker f

si et seulement si

n

est pair et il existe une base de

E

dans laquelle la matrice de

f

est

(0_{p} 0_{p} I_{p} 0_{p})

avec

n = 2 p

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168. $Polynom's Corner$

Soient

n \in N

E_{n} = R_{n} [X]

T_{n}

l'application définie sur

E_{n}

par

T_{n} (P) = (n X + 1) P + (1 - X^{2}) P^{'} .

Q1-Prouver que

T_{n} \in L (E_{n})

Q2-Écrire la matrice

M_{n} = mat_{B_{n}} (T_{n})

T_{n}

dans la base canonique de

E_{n}

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169. $Le commutant d'une matrice$

Soient

A = (1224)

φ_{A}

l'application de

M_{2} (R)

dans

M_{2} (R)

définie par

φ_{A} : M ⟼ A M - M A .

Q1-Prouver que

φ_{A}

est un endomorphisme de

M_{2} (R)

Q2-Déterminer le noyau et l'image de

φ_{A}

Q3-En déduire que le commutant de

A

, i.e. l'ensemble des matrices de

M_{2} (R)

qui commutent avec

A

, est un sous-espace vectoriel de

M_{2} (R)

dont on donnera une base.

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170. $Espaces de polynômes$

Soient

E = R_{2} [X]

f

l'application définie sur l'espace

E

par

f (P) = P + P^{'}

Q1-Prouver que

f

est un endomorphisme de

E

Q2-On note

B_{0}

la base canonique de

E

. Déterminer la matrice

M = mat_{B_{0}} (f)

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171. $Du p'tit lait$

Soit

f

, un endomorphisme de

R^{3}

, admettant pour matrice relative à la base canonique la matrice suivante :

A = 000100211 .

Q1-Déterminer une base du noyau et de l'image de

f

Q2-Déterminer une base du noyau et de l'image de

f^{2}

Q3-Vérifier que

ker (f^{2})

Im (f^{2})

sont supplémentaires dans

R^{3}

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172. $Endomorphismes f, g, h de R [X]$

Soit

R [X]

l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soient

f

g

h

les applications de

R [X]

dans lui-même définies par :

f (P (X)) = X P (X), g (P (X)) = P^{'} (X) et h (P (X)) = (P (X))^{2} .

Q1-Montrer que les applications

f

g

sont linéaires, mais que

h

ne l'est pas.

Q2-Les applications

f

g

sont-elles injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer l'image de

f

Q3-Soit

n \in N

. On désigne par

f_{n}

g_{n}

les restrictions de

f

et de

g

R_{n} [X]

. Montrer que l'image de

g_{n}

est incluse dans

R_{n} [X]

et celle de

f_{n}

est incluse dans

R_{n + 1} [X]

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173. $Étude d'un endomorphisme$

Soit

f

l'application de

R_{n} [X]

dans

R [X]

, définie en posant, pour tout

P (X) \in R_{n} [X]

f (P (X)) = P (X + 1) + P (X - 1) - 2 P (X) .

Q1-Montrer que

f

est linéaire et que son image est incluse dans

R_{n} [X]

Q2-Dans le cas où

n = 3

, donner la matrice de

f

dans la base

(1, X, X^{2}, X^{3})

. Déterminer ensuite, pour une valeur de

n

quelconque, la matrice de

f

dans la base

(1, X, \dots, X^{n})

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174. $Noyau et image de L (x, y, z)$

Soit

L : R^{3} \to R^{3}

l'application linéaire définie par

L (x, y, z) = (x + 2 y - z, y + z, x + y - 2 z) .

Q1-Écrire la matrice associée à

L

dans la base canonique de

R^{3}

Q2-Trouver une base et déterminer la dimension de chacun des sous-espaces vectoriels suivants :

ker (L)

Im (L)

ker (L) \cap Im (L)

Q3-Déterminer

L \circ L = L^{2}

L \circ L \circ L = L^{3}

en calculant leurs matrices dans la base canonique. Quelle est la matrice de

L^{16}

dans la base canonique ?

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175. $Un endomorphisme de matrices$

Soit

A = (1324)

. On considère l'application

φ

M_{2} (R)

dans

M_{2} (R)

définie par

φ (M) = A M

Q1-Vérifier que

φ

est linéaire.

Q2-Montrer que

φ

est un isomorphisme. Donner une expression simple de l'isomorphisme réciproque.

Q3-Déterminer la matrice de

φ

dans la base canonique de

M_{2} (R)

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176. $φ (P) = P (X + 1) + P (X)$

On considère l'application

φ : {R_{3} [X] \to R [X] P \mapsto P (X + 1) + P (X)

Q1-Montrer que

φ

est un endomorphisme de

R_{3} [X]

Q2-On note

B

la base canonique de

R_{3} [X]

. Déterminer la matrice de

φ

dans la base

B

. On notera

M

cette matrice.

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177. $Fonctions g_{1}, ... et sous-espace$

On considère l'espace vectoriel

E = A (R, R)

des applications de

R

dans

R

, et les fonctions

g_{1}, g_{2}, g_{3}

g_{4}

définies par :

\forall x \in R, g_{1} (x) = x e^{x}, g_{2} (x) = x e^{- x}, g_{3} (x) = e^{x}, g_{4} (x) = e^{- x} .

On note

F = vect (g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4})

Q1-

[(a)] Si $a, b, c$ et $d$ sont quatre réels tels que $\forall x \in R, a x e^{x} + b x e^{- x} + c e^{x} + d e^{- x} = 0$ , montrer qu'alors $x \to + \infty lim (a x + c) e^{x} = 0$ , puis que $a = c = 0$ .
[(b)] Montrer que $(g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4})$ est une base de $F$ , qu'on notera $B_{1}$ par la suite. Quelle est la dimension de $F$ ?

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178. $Centrale MP$

Soient

H_{1}

H_{2}

deux sous-espaces supplémentaires de

L (R^{n})

vérifiant la propriété suivante :

\forall (f, g) \in H_{1} \times H_{2}, f \circ g + g \circ f = 0

Q1-Justifier qu'il existe

(p_{1}, p_{2}) \in H_{1} \times H_{2}

tel que

p_{1} + p_{2} = Id

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179. $Projecteurs \sum p_{i} = Id$

Soient

p_{1}, \dots, p_{n}

des projecteurs d'un espace vectoriel

E

de dimension finie tels que

p_{1} + \dots + p_{n} = Id_{E}

.
Montrer que

Im p_{1} \oplus \dots \oplus Im p_{n} = E

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180. $Rang de Φ (f) = u \circ f \circ v$

Soient

u, v \in L (E)

où

E

est un espace vectoriel de dimension finie. Déterminer le rang de l'endomorphisme de

L (E)

Φ : f \mapsto v \circ f \circ u

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181. $f (z) = i z + (1 - i) \overset{z}{ˉ}$

Soit

f : {C ⟶ C z ⟼ i z + (1 - i) \overline{z}

Q1-Montrer que

f

est un automorphisme du

R

-espace vectoriel

C

Q2-Montrer qu'il existe une base du

R

-espace vectoriel

C

dans laquelle la matrice de

f

est

(10 0 - 1)

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182. $SEV sin, cos, sinh, cosh$

On considère le sous-espace vectoriel

F

C^{1} (R)

engendré par la famille

B = (sin, cos, sh, ch)

Q1-Montrer que

B

est une base de

F

Q2-On note

D

l'opérateur de dérivation. Montrer que

F

est stable par

D

. On notera

d

l'endomorphisme de

F

induit par

D

Q3-On note

M

la matrice de

d

dans la base

B

. Calculer

M^{n}

pour tout

n \in N

Q4-Montrer que

d

est un automorphisme de

F

. Écrire la matrice de

d^{- 1}

dans la base

B

Q5-On note

f = d - Id

. Déterminer l'image et le noyau de

f

Q6-On note

g = d + Id

. Déterminer l'image et le noyau de

g \circ f

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183. $Matrices (anti-)symétriques$

Soient

n \geq 1

S_{n} (R)

le sous-ensemble des matrices carrées symétriques d'ordre

n

A_{n} (R)

le sous-ensemble des matrices carrées antisymétriques d'ordre

n

Q1-Justifier que

S_{n} (R)

A_{n} (R)

sont des sous-espaces vectoriels de

M_{n} (R)

. Préciser leurs dimensions.

Q2-Montrer que ces deux sous-espaces sont supplémentaires dans

M_{n} (R)

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184. $SEV de M_{3} : matrices M (a, b, c)$

Soit

E

le sous-ensemble de

M_{3} (R)

défini par

E = ⎩ ⎨ ⎧ M (a, b, c) = a 0 c 0 b 0 c 0 a a, b, c \in R ⎭ ⎬ ⎫ .

Q1-Montrer que

E

est un sous-espace vectoriel de

M_{3} (R)

stable pour la multiplication des matrices. Calculer

dim (E)

Q2-Soit

M (a, b, c)

un élément de

E

. Déterminer, suivant les valeurs des paramètres

a

b

c \in R

son rang.

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185. $SEV {M ∣ tr M = 0} dans M_{2}$

Montrer que

F = {M \in M_{2} (R) ∣ tr (M) = 0}

est un sous-espace vectoriel de

M_{2} (R)

. Déterminer une base de

F

et la compléter en une base de

M_{2} (R)

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186. $Matrices magiques : structure SEV$

On dit qu'une matrice

M \in M_{n} (K)

est magique si les sommes des coefficients de

M

par ligne et par colonne sont constantes. On note

M

l'ensemble des matrices magiques et, pour

M \in M

s (M)

la valeur commune des sommes.

Q1-Montrer que

M

est une sous-algèbre de

M_{n} (K)

et que

s : M \to K

est un morphisme d'algèbres.

Q2-Montrer que si

M \in M

est inversible, alors

M^{- 1} \in M

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187. $Δ_{A} = {M + M^{⊤} = tr (M) A}$

Soit

A \in M_{n} (C)

. On note

Δ_{A} = {M \in M_{n} (C) ∣ M + M^{⊤} = tr (M) A}

. On note respectivement

S_{n} (C)

A_{n} (C)

les ensembles des matrices symétriques et des matrices antisymétriques de

M_{n} (C)

Q1-Montrer que

Δ_{A}

est un sous-espace vectoriel de

M_{n} (C)

contenant

A_{n} (C)

Q2-Si

tr (A) \neq = 2

, montrer que

Δ_{A} = A_{n} (C)

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188. $Questions en vrac$

Pour

z \in C

, on pose

M (z) = (Re (z) Im (z) - Im (z) Re (z)) \in M_{2} (R)

E = {M (z), z \in C}

Q1-Montrer que

E

est un

R

-espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?

Q2-Montrer que l'application

M : {C ⟶ E z ⟼ M (z)

est un isomorphisme de

R

-espaces vectoriels.

Q3-Montrer que

E

est un anneau commutatif et que

M

est un isomorphisme d'anneaux.

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189. $Trace nulle et crochets de Lie$

Soit

n \in N^{*}

. On pose

N_{n} = {M \in M_{n} (K) ∣ tr (M) = 0}

.
Pour

(A, B) \in M_{n} (K)^{2}

, on pose

[A, B] = A B - B A

. On note

L_{n} = {[A, B], (A, B) \in M_{n} (K)^{2}}

Q1-

[(a)] Montrer que $N_{n}$ est un sous-espace vectoriel de $M_{n} (K)$ et déterminer sa dimension.
[(b)] Montrer que $L_{n} \subset N_{n}$ .

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Exercices de Matrices, Sup (prépa) (page 7)

163.

164. $f (P) = (A P)^{''} : étude de l'endo.$

165. $f (P) = P (X + 2) + P (X) - 2 P (X + 1)$

166. $f (X) = A X - X B : noyau et image$

167. $Im f = ker f ssi n pair$

168. $Polynom's Corner$

169. $Le commutant d'une matrice$

170. $Espaces de polynômes$

171. $Du p'tit lait$

172. $Endomorphismes f, g, h de R [X]$

173. $Étude d'un endomorphisme$

174. $Noyau et image de L (x, y, z)$

175. $Un endomorphisme de matrices$

176. $φ (P) = P (X + 1) + P (X)$

177. $Fonctions g_{1}, ... et sous-espace$

178. $Centrale MP$

179. $Projecteurs \sum p_{i} = Id$

180. $Rang de Φ (f) = u \circ f \circ v$

181. $f (z) = i z + (1 - i) \overset{z}{ˉ}$

182. $SEV sin, cos, sinh, cosh$

183. $Matrices (anti-)symétriques$

184. $SEV de M_{3} : matrices M (a, b, c)$

185. $SEV {M ∣ tr M = 0} dans M_{2}$

186. $Matrices magiques : structure SEV$

187. $Δ_{A} = {M + M^{⊤} = tr (M) A}$

188. $Questions en vrac$

189. $Trace nulle et crochets de Lie$

163.

164.f(P)=(AP)′′ : étude de l'endo.

165.f(P)=P(X+2)+P(X)−2P(X+1)

166.f(X)=AX−XB : noyau et image

167.Imf=kerf ssi n pair

168.Polynom's Corner

169.Le commutant d'une matrice

170.Espaces de polynômes

171.Du p'tit lait

172.Endomorphismes f,g,h de R[X]

173.Étude d'un endomorphisme

174.Noyau et image de L(x,y,z)

175.Un endomorphisme de matrices

176.φ(P)=P(X+1)+P(X)

177.Fonctions g1​,... et sous-espace

178.Centrale MP

179.Projecteurs ∑pi​=Id

180.Rang de Φ(f)=u∘f∘v

181.f(z)=iz+(1−i)zˉ

182.SEV sin, cos, sinh, cosh

183.Matrices (anti-)symétriques

184.SEV de M3​ : matrices M(a,b,c)

185.SEV {M∣trM=0} dans M2​

186.Matrices magiques : structure SEV

187.ΔA​={M+M⊤=tr(M)A}

188.Questions en vrac

189.Trace nulle et crochets de Lie

164. $f (P) = (A P)^{''} : étude de l'endo.$

165. $f (P) = P (X + 2) + P (X) - 2 P (X + 1)$

166. $f (X) = A X - X B : noyau et image$

167. $Im f = ker f ssi n pair$

168. $Polynom's Corner$

169. $Le commutant d'une matrice$

170. $Espaces de polynômes$

171. $Du p'tit lait$

172. $Endomorphismes f, g, h de R [X]$

173. $Étude d'un endomorphisme$

174. $Noyau et image de L (x, y, z)$

175. $Un endomorphisme de matrices$

176. $φ (P) = P (X + 1) + P (X)$

177. $Fonctions g_{1}, ... et sous-espace$

178. $Centrale MP$

179. $Projecteurs \sum p_{i} = Id$

180. $Rang de Φ (f) = u \circ f \circ v$

181. $f (z) = i z + (1 - i) \overset{z}{ˉ}$

182. $SEV sin, cos, sinh, cosh$

183. $Matrices (anti-)symétriques$

184. $SEV de M_{3} : matrices M (a, b, c)$

185. $SEV {M ∣ tr M = 0} dans M_{2}$

186. $Matrices magiques : structure SEV$

187. $Δ_{A} = {M + M^{⊤} = tr (M) A}$

188. $Questions en vrac$

189. $Trace nulle et crochets de Lie$