Exercices de Matrices en maths Sup (prépa) (page 8)

191. $f (A B) = f (B A) et trace (variante)$

Soit

f

une forme linéaire sur

M_{n} (K)

telle que

f (A B) = f (B A)

pour tout

(A, B) \in M_{n} (K)^{2}

.
Montrer que

f

est proportionnelle à la trace.

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192. $tr (A X) = tr (B X) : A = B$

Soient

A

B \in M_{n} (R)

telles que

\forall X \in M_{n} (R), tr (A X) = tr (B X) .

Montrer que

A = B

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193. $X^{2} + X = A dans M_{2} (R)$

On considère l'équation

X^{2} + X = A (E)

d'inconnue

X \in M_{2} (R)

avec

A = (1111) \in M_{2} (R)

Q1-Déterminer une base de

Im A

ker A

Q2-Montrer que

A

n'est pas inversible.

Q3-Soit

X

vérifiant

(E)

. Montrer que

X

X + I_{2}

n'est pas inversible.

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194. $Système X Y = N, Y X = P dans M_{2}$

On veut résoudre le système d'équations d'inconnues dans

M_{2} (R)

⎩ ⎨ ⎧ X Y = (0010) Y X = (0000)

Q1-On suppose que le système admet un couple de solutions

(X, Y)

. Montrer que

rg X = rg Y = 1

Q2-Que peut-on en déduire sur la forme de

X

Y

Q3-Résoudre le système.

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195. $X + tr (X) A = 0$

Soit

A \in M_{n} (R)

. Résoudre l'équation

X + tr (X) A = 0

d'inconnue

X \in M_{n} (R)

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196. $Système 3 \times 3, param. a, b, c$

Résoudre selon les valeurs des paramètres

a, b, c \in R

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = a - 2 x - 3 y + 3 z = b x + y - 2 z = c

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197. $Résolution de systèmes (3 exemples)$

Résoudre les systèmes

Q1-

⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + 4 z = - 4 3 x + 2 y - 3 z = 17 5 x - 3 y + 8 z = - 10

Q2-

⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z = 1 3 x + 2 y - 3 z = 2 - x + 6 y - 11 z = - 3

Q3-

⎩ ⎨ ⎧ 2 y - z = - 2 x + y + z = 2 - 2 x + 4 y - 5 z = - 10

Q4-

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - 5 z = 3 3 x + 2 y - 3 z = 0 x + y - 7 z = 2 2 x - 3 y + 8 z = 5

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198. $Système avec paramètre m$

Résoudre le système

(S) : ⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z = 1 x + m y + z = m x + y + m z = m^{2}

d'inconnue

(x, y, z) \in R^{3}

et de paramètre

m \in R

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199. $X — Décomposition sym + nilpotente$

Montrer que toute matrice de

M_{n} (R)

peut s'écrire comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice nilpotente.

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200. $X — (A B - B A)^{2} = I_{n}$

À quelle condition existe-t-il des matrices

A, B \in M_{n} (R)

vérifiant

(A B - B A)^{2} = I_{n}

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201. $X — Puissances de matrice 2 \times 2$

Soit

M = (a c b d) \in M_{2} (R)

avec

0 \leq d \leq c \leq b \leq a

b + c \leq a + d

.
Pour tout

n \geq 2

, on note

M^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})

.
Démontrer que, pour tout

n \geq 2

b_{n} + c_{n} \leq a_{n} + d_{n}

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202. $X — Matrice triang. sup à coeff 1$

Soit

A \in M_{n} (R)

la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale (incluse) valent

1

Q1-Soit

k \in N^{*}

. Majorer les coefficients de

A^{k}

Q2-Calculer

A^{- 1}

Q3-Calculer

(A^{- 1})^{k}

pour

k \in N

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203. $X — Lemme de Sherman-Morrison$

Soit

A \in M_{n} (R)

une matrice inversible et

X

Y

deux colonnes de

M_{n, 1} (R)

.
Établir

A + Y^{t} X \in G L_{n} (R) ⟺ 1 +^{t} X A^{- 1} Y \neq = 0

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Exercices de Matrices, Sup (prépa) (page 8)

190.

191. $f (A B) = f (B A) et trace (variante)$

192. $tr (A X) = tr (B X) : A = B$

193. $X^{2} + X = A dans M_{2} (R)$

194. $Système X Y = N, Y X = P dans M_{2}$

195. $X + tr (X) A = 0$

196. $Système 3 \times 3, param. a, b, c$

197. $Résolution de systèmes (3 exemples)$

198. $Système avec paramètre m$

199. $X — Décomposition sym + nilpotente$

200. $X — (A B - B A)^{2} = I_{n}$

201. $X — Puissances de matrice 2 \times 2$

202. $X — Matrice triang. sup à coeff 1$

203. $X — Lemme de Sherman-Morrison$

190.

191.f(AB)=f(BA) et trace (variante)

192.tr(AX)=tr(BX) : A=B

193.X2+X=A dans M2​(R)

194.Système XY=N, YX=P dans M2​

195.X+tr(X)A=0

196.Système 3×3, param. a,b,c

197.Résolution de systèmes (3 exemples)

198.Système avec paramètre m

199.X — Décomposition sym + nilpotente

200.X — (AB−BA)2=In​

201.X — Puissances de matrice 2×2

202.X — Matrice triang. sup à coeff 1

203.X — Lemme de Sherman-Morrison

191. $f (A B) = f (B A) et trace (variante)$

192. $tr (A X) = tr (B X) : A = B$

193. $X^{2} + X = A dans M_{2} (R)$

194. $Système X Y = N, Y X = P dans M_{2}$

195. $X + tr (X) A = 0$

196. $Système 3 \times 3, param. a, b, c$

197. $Résolution de systèmes (3 exemples)$

198. $Système avec paramètre m$

199. $X — Décomposition sym + nilpotente$

200. $X — (A B - B A)^{2} = I_{n}$

201. $X — Puissances de matrice 2 \times 2$

202. $X — Matrice triang. sup à coeff 1$

203. $X — Lemme de Sherman-Morrison$