Exercices de Réduction géométrique en maths Spé (prépa) (page 2)

42. $Spectre de la dérivation sur C^{\infty} (R)$

Soient E = C

\infty

(R, R) et D l'endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f '.
Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés.

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Soit

E = C^{\infty} (R, R)

D \in L (E)

l'opérateur de dérivation défini par

D (f) = f^{'}

.
1. Définition des éléments propres :
Une valeur propre de

D

est un réel

λ

tel qu'il existe une fonction

f \in E

, non identiquement nulle, vérifiant

D (f) = λ f

.
Cela se traduit par l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 :

f^{'} (t) = λ f (t)

pour tout

t \in R

.
2. Résolution de l'équation différentielle :
Les solutions de l'équation différentielle homogène

y^{'} - λ y = 0

sont connues.
Elles sont de la forme

f (t) = C e^{λ t}

, où

C \in R

est une constante arbitraire.
Toutes ces fonctions appartiennent bien à

E = C^{\infty} (R, R)

.
3. Conclusion :
Pour tout réel

λ

, on peut trouver une fonction

f

non nulle vérifiant

f^{'} = λ f

(il suffit de prendre

C \neq = 0

).
Par conséquent, tout nombre réel est valeur propre de

D

. Le spectre est

Sp (D) = R

.
Le sous-espace propre associé à une valeur propre

λ

est l'ensemble des solutions de l'équation, c'est-à-dire :

E_{λ} (D) = {t \mapsto C e^{λ t} ∣ C \in R}

.
C'est la droite vectorielle engendrée par la fonction exponentielle

t \mapsto e^{λ t}

43. $Éléments propres sur C^{N}$

Soient E = CN et f : E

\to

E l'application qui transforme une suite u = (un) en
v = (vn) définie par
v0 = u0 et

\forall n \in N

^*, vn = un + un-1
.
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.

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44. $Spectre de Δ (u) (n) = u (n + 1) - u (n)$

Soient

E

l'espace des suites réelles convergeant vers

0

Δ : E \to E

l'endomorphisme défini par

\forall u \in E

\forall n \in N

Δ (u) (n) = u (n + 1) - u (n)

.
Déterminer les valeurs propres de

Δ

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45. $Spectre de l'opérateur primitive$

Soient E = C0(R, R) et I l'endomorphisme de E qui à

f \in E

associe sa primitive
qui s'annule en 0.
Déterminer les valeurs propres de I.

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46. $Spectre d'un opérateur de décalage T (f) = f (\cdot + 1)$

Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; +

\infty

[ vers R convergeant
en +

\infty

.
Soit T l'endomorphisme de E donné par

\forall

\in

[0 ; +

\infty

[, T(f)(x) = f(x + 1).
Déterminer les valeurs propres de T et les vecteurs propres associés.

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47. $Spectre d'une moyenne intégrale$

Soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de [0 ; +

\infty

[ vers R.
Pour tout

f \in E

, on définit T(f): ]0 ; +

\infty

[

\to

R par
T(f)(x) = 1
x
Z x
f(t) dt pour x > 0.

Q1-Montrer que la fonction

T (f)

se prolonge par continuité en 0 et qu'alors T est
un endomorphisme de E.

Q2-Déterminer les éléments propres de T.

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48. $Spectre de T (f) (x) = \int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t} d t$

Soit E l'espace des fonctions f de classe C1 de [0 ; +

\infty

[ vers R vérifiant f(0) = 0.
Pour un élément f de E on pose T(f) la fonction définie par
T(f)(x) =
Z x
f(t)
t
dt.
Montrer que T est un endomorphisme de E et déterminer ses valeurs propres.

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49. $Spectre d'un opérateur à noyau min (x, t)$

Soit E = C([0 ; 1], R). Si

f \in E

on pose
T(f): x

\in

[0 ; 1] 7

\to

Z 1
min(x, t)f(t) dt.

Q1-Vérifier que T est un endomorphisme de E.

Q2-Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T.

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50. $Éléments propres de Φ sur R_{4} [X]$

Soient

n \in N

Φ

l'endomorphisme de

R_{4} [X]

défini par

Φ (P) = (X^{2} - 1) P^{'} (X) - (4 X + 1) P (X)

Q1-Montrer que

Φ

, qui à P associe
(X2 -1)P '(X) -(4X + 1)P(X)
est un endomorphisme de R4[X].

Q2-Résoudre l'équation différentielle
y' =
5 -

λ

2(x -1) +
3 +

λ

2(x + 1)
"
y.

Q3-En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de

Φ

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51. $Éléments propres de φ via Taylor$

Soit

a \in R

n \geq 2

. On considère l'application

φ

définie par

φ (P) (X) = (X - a) P^{'} (X) - P^{'} (a) - 2 (P (X) - P (a))

Q1-Montrer que

φ

(P)(X) = (X -a)
P '(X) -P '(a)

-2(P(X) -P(a)) définit
un endomorphisme de Rn[X].

Q2-À l'aide de la formule de Taylor, déterminer l'image et le noyau de

φ

Q3-Trouver ses éléments propres. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?

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52. $Spectre d'une matrice de rang 1$

Deux résultats indépendants sur les éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice de rang 1.

Q1-Soit f un endomorphisme d'un R-espace vectoriel de dimension finie. Si a est
valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f, a) est le sous-espace propre
attaché, montrer
1

\leq

dim E(f, a)

\leq

Q2-Soit

A

une matrice de rang 1.
Déterminer simplement les valeurs propres de A.
La matrice A est-elle diagonalisable ?

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53. $Même χ implique-t-il semblables ?$

On étudie le lien entre similitude de deux matrices et égalité de leurs polynômes caractéristiques.

Q1-Montrer que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

Q2-Réciproque ?

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54. $χ d'un endomorphisme induit divise χ_{u}$

Soit

F

un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme

u

d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Établir que le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par

u

sur

F

divise le polynôme caractéristique de

u

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55. $χ_{A B} = χ_{B A} pour deux matrices$

Soient A,

B \in M n

(C). On désire établir l'égalité des polynômes caractéristiques
χAB = χBA.

Q1-Établir l'égalité quand A

\in

GLn(C).

Q2-Pour A /

\in

GLn(C), justifier que pour p

\in

N assez grand A + 1
pIn

\in

GLn(C).
En déduire que l'égalité est encore vraie pour A non inversible.

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56. $χ_{A B} et χ_{B A} par blocs triangulaires$

Soient

A \in M n

,p(K),

B \in M p

,n(K) et

λ \in

K. En multipliant à droite et à gauche
la matrice
M =

λ

In
A
B
Ip
"

\in

Mn+p(K)
par des matrices triangulaires par blocs bien choisies, établir

λ

pχAB(

λ

) =

λ

nχBA(

λ

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57. $Réduction au rang pour χ_{A B}, χ_{B A}$

Soit (A, B)

\in

Mp,q(R)

\times

Mq,p(R). Montrer que
XqχAB(X) = XpχBA(X).
On pourra commencer par le cas où
A =
Ir
"
.

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58. $χ_{(A B)^{p}} = χ_{(B A)^{p}}$

Soient A,

B \in M n

(K) et

p \in N

^*. Établir
χ(AB)p = χ(BA)p.

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59. $Polynôme caractéristique de A^{- 1}$

Soit

A \in M_{n} (R)

inversible de polynôme caractéristique

χ_{A}

.
Établir que pour tout

x \neq = 0

χ_{A^{- 1}} (x) = \frac{x ^{n}}{χ _{A} ( 0 )} χ_{A} (1/ x) .

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60. $Coefficients réels de χ_{A}$

Soit

A \in M n

(C). Montrer
χA

A \in R

[X].

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61. $Théorème de Kronecker$

On étudie les polynômes caractéristiques des matrices à coefficients entiers et les contraintes arithmétiques portant sur leurs racines complexes.

Q1-Si

P \in Z [X]

est unitaire de degré

n

, existe-t-il une matrice

A \in M_{n} (Z)

de
polynôme caractéristique

P (X)

Q2-Soient

(λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in C^{n}

et le polynôme

P = i = 1 \prod n (X - λ_{i})

.
On suppose

P \in Z [X]

. Montrer que pour tout

q \in N^{*}

le polynôme

P_{q} = i = 1 \prod n (X - λ_{i}^{q})

appartient encore à

Z [X]

Q3-Soit

P

dans

Z [X]

unitaire dont les racines complexes sont de modules

\leq 1

.
Montrer que les racines non nulles de

P

sont des racines de l'unité.

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62. $χ_{f} pour un endomorphisme de rang 2$

Soient n

\geq

2 et

f \in L

(Cn) endomorphisme de rang 2.
Exprimer le polynôme caractéristique de f en fonction de tr(f) et tr(f^2).

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63. $PGCD de χ_{A} et χ_{B} (Sylvester)$

Soient A et B dans Mn(K)(K = R ou C).

Q1-Comparer

S pB

S pt

Q2-Soit C

\in

Mn(K). Montrer que s'il existe

λ

pour lequel AC =

λ

C, alors
Im C

\subset

Ker(A -

λ

In).

Q3-Soit

λ

une valeur propre commune à A et B. Montrer qu'il existe
C

\in

Mn(K), C ≠ 0, telle que AC = CB =

λ

Q4-On suppose l'existence de C

\in

Mn(K) avec rg C = r et AC = CB. Montrer
que le PGCD des polynômes caractéristiques de A et B est de degré

\geq

Q5-Étudier la réciproque de d).

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64. $Polynôme caractéristique compagnon$

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice

0 ⋮ 0 a_{0} 1 ⋱ \dots a_{1} ⋱ 0 \dots 01 a_{n - 1} .

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65. $Spectre d'une matrice tridiagonale$

Soient

A_{n} = 01 (0) 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 1 (0) 10 \in M_{n} (C)

P_{n} (x) = det (x I_{n} - A_{n})

Q1-Montrer

P_{n} (x) = x P_{n - 1} (x) - P_{n - 2} (x) .

Calculer

P_{1} (x)

P_{2} (x)

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66. $Déterminant d'une circulante$

Soient

a_{1}, \dots, a_{n} \in C^{*}

, tous distincts et

P (x) = det (A + x I_{n})

avec

A = a_{2} ⋮ a_{n} \dots a_{1} a_{n} \dots a_{1} ⋮ a_{n - 1} .

Q1-Calculer

P (a_{i})

et décomposer en éléments simples la fraction

\frac{P ( x )}{\prod _{i = 1}^{n} ( x - a _{i} )}

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67. $Déterminant de A + I_{n}, circulante$

Soient

a_{1}, \dots, a_{n} \in C^{*}

deux à deux distincts. On pose

P (x) = det (A + x I_{n})

avec

A = a_{2} ⋮ a_{n} \dots a_{1} a_{n} \dots a_{1} ⋮ a_{n - 1} .

Q1-Calculer

P (a_{i})

Q2-Justifier que

P

est un polynôme unitaire de degré

n

Q3-Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

\frac{P ( X )}{\prod _{i = 1}^{n} ( X - a _{i} )}

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68. $A B et B A ont même spectre$

Soient

A, B \in M_{n} (R)

. Montrer que

A B

B A

ont même valeurs propres.

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69. $Signe de det A selon le spectre$

Soit

A \in M n

(R) telle que Sp A

\subset

R+. Montrer
det A

\geq

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70. $χ_{A} (B) inversible ssi spectres disjoints$

Soient A,

B \in M n

(C). Établir
χA(B)

\in

GLn(C)

\Leftarrow ⟹

Sp A

\cap

Sp B =

\emptyset

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71. $Dérivée logarithmique de χ_{A}$

Dans tout l'exercice,

n \in N^{*}

Q1-Soient

B, C \in M_{n} (C)

semblables. Pour

x \in C

, montrer que les matrices

x I_{n} - B

x I_{n} - C

sont semblables. En est-il de même de

(x I_{n} - B)^{- 1}

(x I_{n} - C)^{- 1}

Q2-Soit

A \in M_{n} (C)

. On note

P_{A} (x) = det (x I_{n} - A)

P_{A}^{'}

le polynôme dérivé de

P_{A}

. On suppose que

x

n'est pas valeur propre de

A

. Montrer que

tr ((x I_{n} - A)^{- 1}) = \frac{P _{A}^{'} ( x )}{P _{A} ( x )}

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72. $Spectre non vide en dimension finie$

Soit

E

C

-espace vectoriel de dimension finie.

Q1-Justifier que tout endomorphisme de E possède au moins une valeur propre

Q2-Observer que l'endomorphisme P(X) 7

\to

(X -1)P(X) de C[X] n'a pas de
valeurs propres.

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73. $Rappel puis vecteur propre commun$

On travaille avec des endomorphismes d'un

C

-espace vectoriel de dimension finie non nulle.

Q1-Rappeler pourquoi un endomorphisme d'un

C

-espace vectoriel de dimension finie non nulle admet au moins un vecteur propre.

Q2-Soient

u, v

deux endomorphismes d'un

C

-espace vectoriel

E

de dimension finie non nulle. On suppose

u \circ v = v \circ u

. Montrer que

u

v

ont un vecteur propre en commun.

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74. $A B = B A : vecteur propre commun$

Soient

A, B \in M_{n} (C)

vérifiant

A B = B A

.
Montrer que

A

B

ont un vecteur propre en commun.

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75. $Valeur propre commune via U A = B U$

Montrer que

A, B \in M_{n} (C)

ont une valeur propre en commun si, et seulement si,
il existe

U \in M_{n} (C)

non nulle vérifiant

U A = B U

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76. $Matrices singulières, propriété (P)$

K

désigne

R

C

.
On dit qu'une matrice

A \in M_{n} (K)

vérifie la propriété

(P)

\exists M \in M_{n} (K), \forall λ \in K, det (M + λ A) \neq = 0

Q1-Rappeler pourquoi une matrice de

M_{n}

Q2-Soit T une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
Calculer det(In +

λ

T). En déduire que T vérifie la propriété (P)

Q3-Déterminer le rang de la matrice
Tr =
Ir
"

\in

Mn(K).

Q4-Soient A vérifiant (P) et B une matrice de même rang que A ; montrer

\exists

(P, Q)

\in

GLn(K)2, B = PAQ
et en déduire que B vérifie (P).

Q5-Conclure que, dans

M_{n}

(C), les matrices non inversibles vérifient (P) et que
ce sont les seules.

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77. $u \circ v = v \circ u : vecteur propre commun$

Soient

u, v

deux endomorphismes d'un

C

-espace vectoriel

E

de dimension finie
non nulle vérifiant

u \circ v = v \circ u

. Montrer que

u

v

ont au moins un vecteur
propre en commun.

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78. $Matrice de rang 1 : A^{2} = λ A$

Soit

A \in M_{n} (K)

vérifiant

rg (A) = 1

. Montrer qu'il existe

λ \in K

tel que

A^{2} = λ A

et que ce scalaire

λ

est valeur propre de

A

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79. $Spectre inclus dans [- ∥ A ∥, ∥ A ∥]$

Pour

A \in M_{n} (R)

, on pose

∥ A ∥ = 1 \leq i \leq n sup j = 1 \sum n ∣ a_{i, j} ∣

.
Montrer que

Sp (A) \subset [- ∥ A ∥, ∥ A ∥]

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80. $Spectre d'une matrice stochastique$

Soit

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (R)

vérifiant pour tout

i, j \in {1, \dots, n}

a_{i, j} \in R^{+}

et pour
tout

i \in {1, \dots, n}

j = 1 \sum n a_{i, j} = 1

Q1-Montrer que 1

\in

Sp(A).

Q2-Justifier que si

λ \in

C est valeur propre de A alors |

λ

\leq

Q3-Observer que si

λ \in

C est valeur propre de A et vérifie |

λ

| = 1 alors

λ

est une
racine de l'unité.

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41.

42.Spectre de la dérivation sur C∞(R)

43.Éléments propres sur CN

44.Spectre de Δ(u)(n)=u(n+1)−u(n)

45.Spectre de l'opérateur primitive

46.Spectre d'un opérateur de décalage T(f)=f(⋅+1)

47.Spectre d'une moyenne intégrale

48.Spectre de T(f)(x)=∫0x​tf(t)​dt

49.Spectre d'un opérateur à noyau min(x,t)

50.Éléments propres de Φ sur R4​[X]

51.Éléments propres de φ via Taylor

52.Spectre d'une matrice de rang 1

53.Même χ implique-t-il semblables ?

54.χ d'un endomorphisme induit divise χu​

55.χAB​=χBA​ pour deux matrices

56.χAB​ et χBA​ par blocs triangulaires

57.Réduction au rang pour χAB​, χBA​

58.χ(AB)p​=χ(BA)p​

59.Polynôme caractéristique de A−1

60.Coefficients réels de χA​

61.Théorème de Kronecker

62.χf​ pour un endomorphisme de rang 2

63.PGCD de χA​ et χB​ (Sylvester)

64.Polynôme caractéristique compagnon

65.Spectre d'une matrice tridiagonale

66.Déterminant d'une circulante

67.Déterminant de A+In​, circulante

68.AB et BA ont même spectre

69.Signe de detA selon le spectre

70.χA​(B) inversible ssi spectres disjoints

71.Dérivée logarithmique de χA​

72.Spectre non vide en dimension finie

73.Rappel puis vecteur propre commun

74.AB=BA : vecteur propre commun

75.Valeur propre commune via UA=BU

76.Matrices singulières, propriété (P)

77.u∘v=v∘u : vecteur propre commun

78.Matrice de rang 1 : A2=λA

79.Spectre inclus dans [−∥A∥,∥A∥]

80.Spectre d'une matrice stochastique

42. $Spectre de la dérivation sur C^{\infty} (R)$

43. $Éléments propres sur C^{N}$

44. $Spectre de Δ (u) (n) = u (n + 1) - u (n)$

45. $Spectre de l'opérateur primitive$

46. $Spectre d'un opérateur de décalage T (f) = f (\cdot + 1)$

47. $Spectre d'une moyenne intégrale$

48. $Spectre de T (f) (x) = \int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t} d t$

49. $Spectre d'un opérateur à noyau min (x, t)$

50. $Éléments propres de Φ sur R_{4} [X]$

51. $Éléments propres de φ via Taylor$

52. $Spectre d'une matrice de rang 1$

53. $Même χ implique-t-il semblables ?$

54. $χ d'un endomorphisme induit divise χ_{u}$

55. $χ_{A B} = χ_{B A} pour deux matrices$

56. $χ_{A B} et χ_{B A} par blocs triangulaires$

57. $Réduction au rang pour χ_{A B}, χ_{B A}$

58. $χ_{(A B)^{p}} = χ_{(B A)^{p}}$

59. $Polynôme caractéristique de A^{- 1}$

60. $Coefficients réels de χ_{A}$

61. $Théorème de Kronecker$

62. $χ_{f} pour un endomorphisme de rang 2$

63. $PGCD de χ_{A} et χ_{B} (Sylvester)$

64. $Polynôme caractéristique compagnon$

65. $Spectre d'une matrice tridiagonale$

66. $Déterminant d'une circulante$

67. $Déterminant de A + I_{n}, circulante$

68. $A B et B A ont même spectre$

69. $Signe de det A selon le spectre$

70. $χ_{A} (B) inversible ssi spectres disjoints$

71. $Dérivée logarithmique de χ_{A}$

72. $Spectre non vide en dimension finie$

73. $Rappel puis vecteur propre commun$

74. $A B = B A : vecteur propre commun$

75. $Valeur propre commune via U A = B U$

76. $Matrices singulières, propriété (P)$

77. $u \circ v = v \circ u : vecteur propre commun$

78. $Matrice de rang 1 : A^{2} = λ A$

79. $Spectre inclus dans [- ∥ A ∥, ∥ A ∥]$

80. $Spectre d'une matrice stochastique$