Exercices de Réduction géométrique en maths Spé (prépa) (page 3)

82. $Matrice à coefficients tous égaux$

Déterminer les valeurs propres de la matrice

M = \cdot ⋮ \cdot \dots \dots \cdot ⋮ \cdot \in M_{n} (R)

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83. $Réduction de matrice antidiagonale$

Soient

n \geq 3

A = 01 ⋮ 1 ⋱ (0) (0) ⋱ 1 ⋮ 10 \in M_{n} (R) .

Q1-Calculer les rangs de

A

A^{2}

Q2-Soit

f

l'endomorphisme de

R^{n}

canoniquement représenté par la matrice

A

.
Montrer

Ker f \oplus Im f = R^{n} .

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84. $Convergence d'une suite récurrente$

Soit

(a_{0}, \dots, a_{p - 1}) \in C^{p}

. On suppose que 1 est racine simple de

P (X) = X^{p} - (a_{p - 1} X^{p - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0})

.
On suppose la convergence d'une suite

(u_{n})_{n \in N}

déterminée par ses

p

premiers
termes

u_{0}, \dots, u_{p - 1}

et la relation de récurrence

u_{n + p} = a_{p - 1} u_{n + p - 1} + \dots + a_{1} u_{n + 1} + a_{0} u_{n}

.
Déterminer la limite de

(u_{n})_{n \in N}

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85. $Valeurs propres de la comatrice$

Expliquer brièvement pourquoi

^{t} Com (A) A = det (A) I_{n}

.
On suppose que

A

admet

n

valeurs propres distinctes ; que vaut

det (A)

?
Que représente un vecteur propre de

A

pour

^{t} Com (A)

?
On suppose de plus que

A

n'est pas inversible. Déterminer

dim ker^{t} Com (A)

.
Prouver que

^{t} Com (A)

n'admet que deux valeurs propres, les expliciter.

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86. $Mineur principal et valeur propre$

Soit

A

une matrice diagonalisable de

M_{n} (R)

admettant une valeur propre
multiple

λ

. Pour

i \in [[1, n]]

, montrer que

λ

est valeur propre de la matrice

A_{i}

obtenue par suppression de la

i

-ème ligne et de la

i

-ème colonne de

A

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87. $Valeurs propres de M \mapsto A M$

Soient

A \in M_{n} (C)

Φ_{A}

l'endomorphisme de

M_{n} (C)

définie par

Φ_{A} (M) = A M

Q1-Montrer que les valeurs propres de

Φ

A sont les valeurs propres de A.

Q2-Déterminer les valeurs propres de

Ψ

A : M 7

\to

MA.

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88. $Éléments propres de l'opérateur M \mapsto A M - M A$

On considère les matrices réelles

A = (1002)

M = (a c b d)

Q1-Calculer

A M - M A

Q2-Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme M 7

\to

AM -MA.

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89. $Diagonalisabilité de la transposée$

Montrer que si

A

est diagonalisable alors

^{t} A

l'est aussi.

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90. $A B diagonalisable implique B A aussi$

Soient

A \in G L_{n} (K)

B \in M_{n} (K)

.
On suppose la matrice

A B

diagonalisable. Montrer que

B A

diagonalisable.

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91. $Diagonalisabilité sur R et C$

Soient

α \in R

A = (cos α sin α - sin α cos α) \in M_{2} (K)

B = (cos α sin α sin α - cos α) \in M_{2} (K)

Q1-On suppose

K = C

. La matrice

A

est-elle diagonalisable ?

Q2-On suppose

K = R

. La matrice

A

est-elle diagonalisable ?

Q3-Mêmes questions avec

B

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92. $Diagonalisabilité d'une matrice a, b$

Soient

a, b \in R^{*}

tels que

∣ a ∣ \neq = ∣ b ∣

A = a b ⋮ b b a ⋮ b \dots \dots ⋱ \dots b b ⋮ a \in M_{2 n} (R)

(avec

n \geq 2

Q1-Calculer le rang de A.

E_{n}

déduire que 0 est valeur propre de A et déterminer
la

d im e

nsion du sous-espace propre associé.

Q2-Déterminer deux vecteurs propres non colinéaires et en déduire que A est
diagonalisable.

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93. $Diagonalisable via C_{n} [X]$

Montrer que la matrice suivante est diagonalisable

A = 0 n (0) 10 n - 1 2 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 1 (0) n 0 \in M_{n + 1} (C)

.
On pourra interpréter

A

comme la matrice d'un endomorphisme de

C_{n} [X]

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94. $Diagonalisabilité selon k$

Considérons la matrice

A

A = 000100100100 100 k \in M_{4} (C)

Q1-On suppose

k

réel. La matrice

A

est-elle diagonalisable dans

M_{4} (R)

? (sans calculs)

Q2-Déterminer le rang de

A

Q3-Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique de

A

est de la forme

X^{2} (X - u_{1}) (X - u_{2})

avec

u_{1}, u_{2} \in C^{*}

vérifiant

u_{1} + u_{2} = k

u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = k^{2} + 6

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95. $Non-diagonalisabilité selon x$

Pour quelle(s) valeurs de

x \in R

, la matrice suivante n'est-elle pas diagonalisable ?

A = - 2 - x x - 5 5 + x - 2 - x 5 x - x 3

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96. $Diagonalisation d'une matrice de H$

Soient

a, b, c, d

quatre nombres complexes avec

a^{2} + b^{2} \neq = 0

A = a - b - c - d b a d - c c - d a b d c - b a

Q1-Calculer AtA,

d e t A

et montrer que

r g (A)

= 2 ou 4.

Q2-On pose

α

2 = b2 + c2 + d2 supposé non nul. Montrer que A est diagonalisable.

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97. $Rang d'une matrice à colonne unique$

Soit

(a_{1}, \dots, a_{n - 1}) \in C^{n - 1}

Q1-Quel est le rang de

A \in M_{n} (C)

définie par

A = 0 ⋮ 0 a_{1} \dots \dots \dots 0 ⋮ 0 a_{n - 1} a_{1} ⋮ a_{n - 1} 0

Q2-Avec la

t r a

ce, que peut-on dire des valeurs propres ?

Q3-A est-elle diagonalisable ?

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98. $Spectre d'une matrice par blocs$

Soient

A \in M_{n} (K)

B = (O A I_{n} O)

Q1-Étudier les valeurs propres de

B

en fonction de celles de

A

Q2-On suppose

A

diagonalisable.

B

est-elle diagonalisable ?

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99. $Blocs diagonaux, diagonalisabilité$

Soient

A_{1} \in M_{p} (K)

A_{2} \in M_{q} (K)

A \in M_{p + q} (K)

définie par

A = (A_{1} O O A_{2})

.
Montrer que

A

est diagonalisable si, et seulement si,

A_{1}

A_{2}

le sont.

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100. $Diagonalisabilité selon z \in C$

Déterminer les

z

complexes pour lesquels la matrice suivante est diagonalisable

M = 011001 z 00

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101. $Diagonalisabilité de M (a, b, c)$

Soient

a, b, c

trois réels non nuls. Étudier la diagonalisabilité de la matrice réelle

M = 0 1/ a 1/ c a 0 1/ b c b 0

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102. $Endomorphisme du reste modulo B$

Soient

A \in R [X]

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}

des réels deux à deux distincts. On étudie
l'application

f

qui associe à un polynôme

P

R_{n} [X]

le reste de la division
euclidienne de

A P

par

B = (X - x_{0}) (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})

Q1-Vérifier que f est un endomorphisme de

R_{n}

[X].

Q2-Déterminer les valeurs propres de f ainsi que les espaces propres associés.

Q3-L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?

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103. $Rang 1 : diagonalisable ssi tr \neq = 0$

Soit

A \in M_{n} (C)

telle que

rg A = 1

.
Établir

A

diagonalisable si, et seulement si,

tr A \neq = 0

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104. $Diagonalisabilité de X^{t} Y$

Soient

X, Y \in M_{n, 1} (K)

non nuls.
À quelle condition la matrice

X^{t} Y

est-elle diagonalisable ?

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105. $Diagonalisabilité de la matrice J$

Soient

K

un sous-corps de

C

J = 1 ⋮ 1 \dots \dots 1 ⋮ 1 \in M_{n} (K)

.
Montrer que

J

est diagonalisable.

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106. $Diagonalisabilité de (a_{i} a_{j})_{i, j}$

Soit

(a_{1}, \dots, a_{n}) \in C^{n}

. La matrice

(a_{i} a_{j})_{1 \leq i, j \leq n}

est-elle diagonalisable ?

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107. $Diagonalisabilité de E_{i, j}$

Parmi les matrices élémentaires

E_{i, j}

M_{n} (K)

, lesquelles sont diagonalisables ?

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108. $Rang 1 : N^{2}, diagonalisable, M^{- 1}$

Soient

(a_{1}, \dots, a_{n}) \in (R_{+}^{*})^{n}

N = a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} .

Calculer

N^{2}

, la matrice

N

est-elle diagonalisable ?
Montrer que

M = 2 N + I_{n}

est inversible et calculer

M^{- 1}

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109. $Diagonalisation simultanée de M (a, b)$

On pose

M (a, b) = a^{2} ab ab b^{2} ab a^{2} b^{2} ab ab b^{2} a^{2} ab b^{2} ab ab a^{2}

pour tous

a, b

réels.

Q1-Ces matrices sont-elles simultanément diagonalisables ?

Q2-Étudier et représenter graphiquement l'ensemble des (a, b)

\in

R2 tel que
M(a, b)n tend vers 0 quand n tend vers

\infty

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110. $Réduction de deux matrices A, B$

Soient

a, b

deux réels et les matrices

A = a b ⋮ b b a ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ b b ⋮ b a et B = b ⋮ b a \dots a b b a \dots a b ⋮ b .

Réduire ces deux matrices.

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111. $Diagonaliser matrices à bord de 1$

Diagonaliser les matrices de

M_{n} (R)

0 ⋮ 01 \dots \dots \dots 0 ⋮ 01 1 ⋮ 11 et 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 \dots 0 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots 0 ⋮ 0 \dots 1 ⋮ ⋮ ⋮ 1 .

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112. $Antidiagonale : diagonalisable ?$

Soit

M_{n} = 0 (a) ⋱ (b) 0 \in M_{n} (C) .

Q1-À quelle condition la matrice

M_{n}

est-elle diagonalisable ?

Q2-Déterminer alors une base de vecteurs propres.

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113. $Racines carrées d'une matrice$

On considère une matrice

A \in M_{3} (R)

et l'on s'intéresse à ses racines carrées matricielles.

Q1-Déterminer les valeurs propres de

A =

-2
-1
-1
.

Q2-Combien y a-t-il de matrice M telle que M 2 = A dans

M_{n}

M_{n}

(R) ?

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114. $Résoudre M^{2} + M = A par diagonalisation$

Soit
A =
"

\in

M2(R).

Q1-Diagonaliser la matrice A en précisant la matrice de passage P

Q2-Soit M

\in

M2(R) une matrice telle que M 2 + M = A.
Justifier que la matrice P -1MP est diagonale.

Q3-Déterminer les solutions de l'équation M 2 +

M = A

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115. $Diagonaliser une matrice circulante$

Pour

n \geq 2

, on considère la matrice

J = 001 1 ⋱ 0 ⋱ ⋱ \dots (0) 10 .

Q1-Montrer que la matrice

J

est diagonalisable dans

M_{n} (C)

Q2-Application : Exprimer

a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ a_{n - 1} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{0} .

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116. $Matrices semblables ou non ?$

Les matrices

3 - 1 - 1 0 6 - 6 - 10 - 3 - 5 582 - 2 - 2 - 3 0 et 10002200623021525

sont-elles semblables ?

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117. $Commutation via A B^{3} = B^{3} A$

Soient A,

B \in M n

(R) avec B diagonalisable.
Montrer
AB3 = B3A =

⟹

AB = BA.

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118. $Nullité de A M B via A^{p} M B^{q} = 0$

Soient p,

q \in N

^*et A, B,

M \in M n

⟹

AMB = On.

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119. $Caractériser det par multiplicativité$

Soit

φ

une application de M2(C) vers C vérifiant :

\forall

B \in M 2

(C),

φ

(AB) =

φ

(A)

φ

(B) et

φ

λ

"
=

λ

.
Montrer que

φ

= det.

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120. $Suites couplées : convergence$

On considère trois suites réelles

(u_{n})_{n \geq 0}

(v_{n})_{n \geq 0}

(w_{n})_{n \geq 0}

vérifiant

⎩ ⎨ ⎧ u_{n + 1} = - u_{n} + v_{n} + w_{n} v_{n + 1} = u_{n} - v_{n} + w_{n} w_{n + 1} = u_{n} + v_{n} - w_{n}

À quelle condition sur

(u_{0}, v_{0}, w_{0})

, ces trois suites sont-elles convergentes ?

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82.Matrice à coefficients tous égaux

83.Réduction de matrice antidiagonale

84.Convergence d'une suite récurrente

85.Valeurs propres de la comatrice

86.Mineur principal et valeur propre

87.Valeurs propres de M↦AM

88.Éléments propres de l'opérateur M↦AM−MA

89.Diagonalisabilité de la transposée

90.AB diagonalisable implique BA aussi

91.Diagonalisabilité sur R et C

92.Diagonalisabilité d'une matrice a,b

93.Diagonalisable via Cn​[X]

94.Diagonalisabilité selon k

95.Non-diagonalisabilité selon x

96.Diagonalisation d'une matrice de H

97.Rang d'une matrice à colonne unique

98.Spectre d'une matrice par blocs

99.Blocs diagonaux, diagonalisabilité

100.Diagonalisabilité selon z∈C

101.Diagonalisabilité de M(a,b,c)

102.Endomorphisme du reste modulo B

103.Rang 1 : diagonalisable ssi tr=0

104.Diagonalisabilité de XtY

105.Diagonalisabilité de la matrice J

106.Diagonalisabilité de (ai​aj​)i,j​

107.Diagonalisabilité de Ei,j​

108.Rang 1 : N2, diagonalisable, M−1

109.Diagonalisation simultanée de M(a,b)

110.Réduction de deux matrices A,B

111.Diagonaliser matrices à bord de 1

112.Antidiagonale : diagonalisable ?

113.Racines carrées d'une matrice

114.Résoudre M2+M=A par diagonalisation

115.Diagonaliser une matrice circulante

116.Matrices semblables ou non ?

117.Commutation via AB3=B3A

118.Nullité de AMB via ApMBq=0

119.Caractériser det par multiplicativité

120.Suites couplées : convergence

82. $Matrice à coefficients tous égaux$

83. $Réduction de matrice antidiagonale$

84. $Convergence d'une suite récurrente$

85. $Valeurs propres de la comatrice$

86. $Mineur principal et valeur propre$

87. $Valeurs propres de M \mapsto A M$

88. $Éléments propres de l'opérateur M \mapsto A M - M A$

89. $Diagonalisabilité de la transposée$

90. $A B diagonalisable implique B A aussi$

91. $Diagonalisabilité sur R et C$

92. $Diagonalisabilité d'une matrice a, b$

93. $Diagonalisable via C_{n} [X]$

94. $Diagonalisabilité selon k$

95. $Non-diagonalisabilité selon x$

96. $Diagonalisation d'une matrice de H$

97. $Rang d'une matrice à colonne unique$

98. $Spectre d'une matrice par blocs$

99. $Blocs diagonaux, diagonalisabilité$

100. $Diagonalisabilité selon z \in C$

101. $Diagonalisabilité de M (a, b, c)$

102. $Endomorphisme du reste modulo B$

103. $Rang 1 : diagonalisable ssi tr \neq = 0$

104. $Diagonalisabilité de X^{t} Y$

105. $Diagonalisabilité de la matrice J$

106. $Diagonalisabilité de (a_{i} a_{j})_{i, j}$

107. $Diagonalisabilité de E_{i, j}$

108. $Rang 1 : N^{2}, diagonalisable, M^{- 1}$

109. $Diagonalisation simultanée de M (a, b)$

110. $Réduction de deux matrices A, B$

111. $Diagonaliser matrices à bord de 1$

112. $Antidiagonale : diagonalisable ?$

113. $Racines carrées d'une matrice$

114. $Résoudre M^{2} + M = A par diagonalisation$

115. $Diagonaliser une matrice circulante$

116. $Matrices semblables ou non ?$

117. $Commutation via A B^{3} = B^{3} A$

118. $Nullité de A M B via A^{p} M B^{q} = 0$

119. $Caractériser det par multiplicativité$

120. $Suites couplées : convergence$