Exercices de Réduction géométrique, Spé (prépa) (page 6)

Soient $a\in C$ et $M\in Mn$(C). Montrer que si les matrices M et aM sont
semblables alors a est une racine de l'unité ou M une matrice nilpotente.

À quelle condition une matrice de M2(R) peut-elle s'écrire comme somme de
matrices nilpotentes ?

Soit $A\in Mn$(C). Déterminer les polynômes P pour lesquels la matrice P(A) est
nilpotente.

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n $\ge$1.
On suppose $u^n=0$ et rg(u) = n -1.

Soient $a_1,\dots ,a_n\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, tous distincts et $P(x)=\det (A+x{I}_n)$ avec$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& a_2& \cdots & a_n\\ a_1& 0& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & a_n\\ a_1& \cdots & a_{n-1}& 0\end{array}\right).$$

$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
On dit qu'une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ vérifie la propriété $(\mathcal{P})$ si$$\exists M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),\forall \lambda \in \mathbb{K},\det (M+\lambda A)\ne 0.$$

Soit $\Phi$ l'application qui à $P$ associe $(X^2-1)P^{\prime }(X)-(4X+1)P(X)$.

Soient $A$, $B$ fixés dans ${\mathbb{R}}_n[X]$.
On note $f$ l'application qui, à $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$.

Soit $a\in \mathbb{R}$ et $n\ge 2$.

Soient $n\ge 2$, $A$ et $B$ des matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$ de déterminants non nuls et premiers entre eux.
Montrer qu'il existe $U$ et $V$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{Z})$ telles que$$UA+VB=I_n.$$On pourra écrire ${\chi }_A(X)=X{Q}_A(X)\pm \det A$.
On donnera un exemple pour $n=2$.

On considère un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $E$, $u$ un endomorphisme de $E$, $U=(u_{i,j})$ la matrice de $u$ dans une base de $E$, $e_{i,j}$ les projecteurs associés à cette base et $E_{i,j}$ la matrice de ces projecteurs.
On considère $\phi$ l'endomorphisme de $\mathcal{L}(E)$ tel que $\phi (v)=u\circ v$.

Pour $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et $B=(b_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, on définit $A\ast B\in {\mathcal{M}}_{n^2}(\mathbb{C})$ par$$A\ast B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}B& \cdots & a_{1,n}B\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}B& \cdots & a_{n,n}B\end{array}\right).$$

Soient $n\ge 2$, $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $f$ l'endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ défini par$$f(M)=\mathrm{tr}(A)M-\mathrm{tr}(M)A$$où $\mathrm{tr}$ désigne la forme linéaire trace.
Étudier la réduction de l'endomorphisme $f$ et préciser la dimension de ses sous-espaces propres.

Soient $A,B\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ telles que $B=A^p$.
Montrer que $A$ est diagonalisable si, et seulement si, $B$ l'est.

Soient $(a_1,\dots ,a_n)\in ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{)}^n$ et$$N=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_1& \cdots & a_1\\ a_2& a_2& \cdots & a_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n& a_n& \cdots & a_n\end{array}\right).$$Calculer $N^2$, la matrice $N$ est-elle diagonalisable ?
Montrer que $M=2N+I_n$ est inversible et calculer $M^{-1}$.

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie.

Soit la matrice$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -b& a\\ b& 0& -c\\ -a& c& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}).$$

Pour quelle(s) valeur(s) de $x\in \mathbb{R}$, la matrice suivante n'est-elle pas diagonalisable ?$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2-x& 5+x& x\\ x& -2-x& -x\\ -5& 5& 3\end{array}\right).$$

Soient $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $e=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$.
On considère l'endomorphisme $f$ de $E$ déterminé par$$\forall k\in \{1,\dots ,n\},f(e_k)=e_k+\sum _{i=1}^n{e}_i.$$

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ 1& a& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$.

Soit $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifiant$$M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Soient $a,b,c,d$ quatre nombres complexes avec $a^2+b^2\ne 0$ et$$A=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ -b& a& -d& c\\ -c& d& a& -b\\ -d& -c& b& a\end{array}\right).$$

Soit $(a_1,\dots ,a_{n-1})\in {\mathbb{C}}^{n-1}$.
Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ définie par$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_1\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{n-1}\\ a_1& \cdots & a_{n-1}& 0\end{array}\right).$$

Soient $f$ un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^n$ et $A$ sa matrice dans la base canonique. On suppose que $\lambda$ est une valeur propre non réelle de $A$ et $Z\in {\mathbb{C}}^n$ un vecteur propre associé. On note $X$ et $Y$ les vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$ parties réelles et imaginaires de $Z$.

Soit $f\in \mathcal{L}({\mathbb{C}}^n)$ de rang $2$. Exprimer ${\chi }_f$ en fonction de $\mathrm{tr}(f)$ et $\mathrm{tr}(f^2)$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ non nulle telle que $A^2=O_3$. Déterminer la dimension du commutant $C=\{M\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\mid AM=MA\}$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ et $f:M\mapsto AM$ définie sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, on définit la forme linéaire $L_A:M\mapsto \mathrm{tr}(AM)$. On note $T_n^{+}$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictement et $T_n^{-}$ l'ensemble des matrices triangulaires inférieures strictement.

Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ et $f:M\mapsto M+\mathrm{tr}(AM)B$ défini sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Soient $A,B\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$ deux colonnes non colinéaires et $M=A{}^{t}B+B{}^{t}A$.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.
1. Sans calcul, déterminer le rang de $A$.
2. $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Calculer $A^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

Soient $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$ et $M_{a,b}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 0& 0& b\\ a& b& 0\end{array}\right)$.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b)$ pour que la matrice $M_{a,b}$ soit diagonalisable.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0& b& b\\ a& 0& b\\ a& a& 0\end{array}\right)$.
1. Discuter de la diagonalisabilité de $A$ suivant les valeurs de $a$ et $b$ réels.
2. Diagonaliser $A$ lorsque $a=1$ et $b=2$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ une matrice de rang 1. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\mathrm{tr}(A)\ne 0$.

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel $E$ commutant, c'est-à-dire tels que $u\circ v=v\circ u$. Montrer qu'ils sont simultanément diagonalisables, c'est-à-dire qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et $v$.

Montrer qu'une matrice carrée $A$ est diagonalisable si et seulement si sa transposée $A^T$ l'est.

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. On dit que $u$ est cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(x,u(x),\dots ,u^{n-1}(x))$ soit une base de $E$.
1. Montrer que si $u$ est cyclique, les seules valeurs propres possibles de $u$ sont simples.
2. Montrer que si $u$ a $n$ valeurs propres distinctes, alors $u$ est cyclique.
3. Si $u$ est diagonalisable, montrer l'équivalence entre :
i) $u$ possède $n$ valeurs propres distinctes ;
ii) $u$ est cyclique ;
iii) le commutant de $u$ est l'ensemble des polynômes en $u$.

Soit $G$ un sous-groupe fini de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$.
1. Soit $M\in G$. Montrer que $\det (M)\in \{-1,1\}$.
2. On suppose ici $n=2$. Montrer que l'ordre de $G$ est un diviseur de $24$. Indication : on pourra s'intéresser aux valeurs propres possibles des éléments de $G$ dans $\mathbb{C}$, et montrer que l'ordre d'un élément de $G$ est dans $\mathcal{O}=\{1,2,3,4,6\}$.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2=I_n$. Montrer que $A$ est diagonalisable. Que peut-on dire si le corps de base est de caractéristique 2 ?