Exercices de Réduction géométrique en maths Spé (prépa) (page 4)

122. $Équation de Sylvester par blocs$

Dans cet exercice,

n

désigne un entier naturel non nul.

Q1-Soit

D \in M_{n} (C)

. Déterminer l'inverse de

(I_{n} O_{n} D I_{n})

Q2-Soient

A, B \in M_{n} (C)

diagonalisables telles que

Sp (A) \cap Sp (B) = \emptyset

. Montrer que pour toute matrice

C \in M_{n} (C)

, les matrices

(A O_{n} C B)

(A O_{n} O_{n} B)

sont semblables.

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123. $e^{i θ} + e^{ik θ} = 1 et suites récurrentes$

Soit

k \in N^{*}

Q1-Déterminer les entiers

k

pour lesquels l'équation

e^{i θ} + e^{ik θ} = 1

admet au moins une solution

θ \in R

Q2-Soit

S_{k}

l'ensemble des suites réelles

u

telles que

\forall n \in N, u_{n + k} = u_{n} + u_{n + k - 1}

. À quelle condition sur

k

S_{k}

contient-il une suite périodique non nulle ?

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124. $Matrices liées à leur comatrice$

On dit qu'une matrice

A \in M n

\exists α \in

C, A + tCom A =

α

In.

Q1-Traiter le cas

n = 2

. Désormais, on suppose

n \geq 3

Q2-Rappeler le lien entre la comatrice et l'inverse d'une matrice inversible.

Q3-Soient

A, B \in G L_{n} (C)

. Montrer que

Com (A B) = Com (A) Com (B)

Q4-Montrer que si

A \in G L_{n} (C)

vérifie (P) alors toutes les matrices semblables à

A

vérifient aussi (P).

Q5-On suppose la matrice

A

inversible, non scalaire et ne possédant qu'une seule valeur propre. Montrer que

A

vérifie (P) si, et seulement si, il existe une matrice

N

telle que

N^{2} = O_{n}

et un complexe

λ

tel que

λ^{n - 2} = 1

pour lesquels

A = λ I_{n} + N

Q6-On suppose que

A

vérifie la propriété (P) et possède au moins deux valeurs propres distinctes. Montrer que

A

est diagonalisable et conclure quelles sont les matrices de cette forme vérifiant (P).

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125. $Diagonalisable via Im (u \pm Id)$

Soit u un endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie E.
On suppose que
Im(u -IdE)

\cap

Im(u + IdE) = {0E}.
Montrer que u est diagonalisable.

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126. $Diagonalisabilité de P - (X + 1) P^{'}$

Soit E = Rn[X]. Pour

P \in E

, on pose

φ

(P) = P -(X + 1)P '.

Q1-Justifier que

φ

définit un endomorphisme de

R_{n}

[X].

Q2-Déterminer les valeurs propres de

φ

et justifier que

φ

est diagonalisable.

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127. $Diagonalisabilité de (X^{2} - 1) P^{''} + 2 X P^{'}$

Montrer que l'application
f : P(X) 7

\to

(X2 -1)P ''(X) + 2XP '(X)
est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel E = Rn[X]. Former la matrice de
f relative à la base canonique de E. En déduire la diagonalisabilité de f ainsi que
ses valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

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128. $Diagonalisabilité de (X - a) (X - b) P^{'} - n X P$

Soient E = Rn[X] et deux réels a ≠ b. Pour

P \in E

, on pose

φ

(P) = (X -a)(X -b)P ' -nXP.

Q1-Montrer que

φ

est un endomorphisme de E.

Q2-Déterminer les valeurs propres de

φ

et en déduire que

φ

est diagonalisable.

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129. $Diagonalisabilité de M + tr (M) I_{n}$

Étudier la diagonalisabilité de l'endomorphisme

φ

de Mn(R) défini par

φ

(M) = M + tr(M)In.

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130. $Diagonalisabilité de u \mapsto f \circ u$

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie,

f \in L

(E) et

F \in L

(L(E))
définie par F(u) =

f \circ u

Q1-Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, F l'est.

Q2-Montrer que f et F ont les mêmes valeurs propres.

Q3-Soit

λ

une valeur propre de f. Établir dim E

λ

(F) = dim E

\times

dim E

λ

(f).

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131. $Diagonalisabilité de f \mapsto f p + p f$

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, un projecteur fixé de E et
F : L(E)

\to

L(E) définie par
F : f^7

\to

1
2(

f \circ p

p \circ f

Q1-F est-elle linéaire ?

Q2-F est-elle diagonalisable ?

Q3-Quelle est la

d im e

nsion des sous-espaces propres associés ?

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132. $Éléments propres du reste de A P mod B$

Soient

A \in R

[X] et

B \in R

[X] scindé à racines simples de degré n + 1. Soit

Φ

l'endomorphisme de Rn[X] qui à

P \in R

[X] associe le reste de la division
euclidienne de AP par B. Déterminer les éléments propres de

Φ

.
L'endomorphisme

Φ

est-il diagonalisable ?

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133. $Isomorphisme du reste modulo B$

Soit A, B fixés dans Rn[X].
On note f l'application qui, à

P \in R n

[X] associe le reste de la division euclidienne
de AP par B.

Q1-Montrer que

f

est un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme ?

Q2-On suppose dans la suite que les polynômes

A

B

sont premiers entre eux, avec

B

scindé à racines simples. Donner les valeurs propres de

f

Q3-L'endomorphisme

f

est-il diagonalisable ?

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134. $Éléments propres de f u - u f, f^{2} = f$

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie,

f \in L

(E) tel que f^2 = f.
Étudier les éléments propres et la diagonalisabilité de l'endomorphisme
u^7

\to

fu -uf de L(E).

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135. $Diagonalisable et nilpotent : [f, g]$

Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et

f \in L

(E). On définit

T \in L

(E)

\to

L(E) par
T(g) =

f \circ g

g \circ f

.
Montrer que si f est diagonalisable, alors T est diagonalisable ; si f est nilpotente,
alors T est nilpotente.

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136. $Étude spectrale de f (e_{k}) = e_{k} + \sum e_{i}$

Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et e = (e1, . . . , en) une base de
E.
On considère l'endomorphisme f de E déterminé par

\forall

\in

{1, . . . , n}, f(ek) = ek +
n
X
i=1
ei.

Q1-Donner la matrice de f dans e.

Q2-Déterminer les sous-espaces propres de f.

Q3-L'endomorphisme f est-il diagonalisable ?

Q4-Calculer le déterminant de f. L'endomorphisme f est-il inversible ?

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137. $Valeurs propres de v \mapsto u \circ v$

On considère un R-espace vectoriel de dimension finie E, u un endomorphisme de
E, U = (ui,j) la matrice de u dans une base de E, ei,j les projecteurs associés à
cette base et Ei,j la matrice de ces projecteurs.
On considère

φ

l'endomorphisme dans L(E) tel que

φ

(v) =

u \circ v

Q1-Montrer que

φ

et u ont les mêmes valeurs propres.

Q2-Calculer UEi,j en fonction des

E_{k}

,j.

E_{n}

déduire qu'il existe une base de

L (E)

dans laquelle la matrice de

φ

est diagonale par blocs.

Q3-Exprimer cette matrice.

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138. $Diagonalisabilité de M \mapsto D M - M D$

Soient

D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

ϕ : M \mapsto D M - M D

endomorphisme de

M_{n} (K)

Q1-Calculer

φ

(

E_{i}

,j) où

E_{i}

,j désigne la matrice élémentaire d'indice (i, j) de

M_{n}

(K).
Quelle particularité présente la matrice de

φ

relativement à la base canonique
de

M_{n}

(K) ?

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139. $Diagonalisabilité de A S + S^{t} A$

Soient

E = S_{2} (R)

A = (a c b d) \in M_{2} (R)

Φ : S_{2} (R) \to S_{2} (R)

définie par

Φ (S) = A S + S^{t} A

Q1-Déterminer la matrice de

Φ

dans une base de E.

Q2-Quelle relation existe-t-il entre les polynômes caractéristiques

χ_{Φ}

χ_{A}

Q3-Si

Φ

est diagonalisable, la matrice A l'est-elle ?

Q4-Si A est diagonalisable, l'endomorphisme

Φ

l'est-il ?

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140. $Base cyclique et matrice compagnon$

Soit

f

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n

admettant
exactement

n

valeurs propres distinctes.

Q1-Montrer qu'il existe

a \in E

tel que la famille

(a, f (a), \dots, f^{n - 1} (a))

soit une
base de

E

Q2-Quelle est la forme de la matrice de

f

dans cette base ?

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141. $Dimension du commutant de f$

Soit

f

un endomorphisme diagonalisable d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension

n

.
On note

C_{f}

l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec

f

Q1-Montrer que

C_{f}

est un sous-espace vectoriel de

L (E)

Q2-Montrer qu'un endomorphisme

g

appartient à

C_{f}

si, et seulement si, chaque
sous-espace propre de

f

est stable par

g

Q3-En déduire que

dim C_{f} = λ \in Sp (f) \sum α_{λ}^{2}

où

α_{λ}

est l'ordre de multiplicité de la valeur propre

λ

Q4-On suppose que les valeurs propres de

f

sont simples. Montrer que

(Id, f, \dots, f^{n - 1})

est une base de

C_{f}

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142. $Décomposition Im (f^{k}) \oplus Ker (f^{k})$

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n

\geq

Q1-Donner un exemple d'endomorphisme

f

E

dont l'image et le noyau ne sont pas supplémentaires.

Q2-On suppose, dans cette question seulement, que

f

est un endomorphisme de

E

diagonalisable. Justifier que l'image et le noyau de

f

sont supplémentaires.

Q3-Soit

f

un endomorphisme de

E

. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul

k

tel que

Im (f^{k}) \oplus ker (f^{k}) = E

. L'endomorphisme

f^{k}

est-il nécessairement diagonalisable ?

Q4-Le résultat démontré en c) reste-t-il valable si l'espace est de dimension infinie ?

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143. $Commutant réduit aux polynômes en f$

Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension

n \in N

^*.
On suppose que f possède exactement n valeurs propres distinctes. Montrer que
seuls les polynômes en f commutent avec f.
On pourra introduire un polynôme interpolateur convenable.

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144. $Égalité u = v à partir de u^{3} = v^{3}$

Soient

E

R

-espace vectoriel de dimension finie et

u \in L (E)

v \in L (E)

diagonalisables vérifiant

u^{3} = v^{3}

. Montrer que

u = v

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145. $Vecteur propre commun à A et B$

Soient

A, B \in M_{n} (C)

vérifiant

A B = O_{n}

Q1-Montrer que les matrices A et B ont un vecteur propre en commun.

Q2-Établir que A et B sont simultanément

t r i

gonalisables.

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146. $Trigonaliser une matrice dense$

Soit

A = 223 - 1 1 - 1 - 1 - 2 - 2 .

Q1-Calculer le polynôme caractéristique de A.

Q2-Trigonaliser la matrice A.

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147. $Trigonaliser matrice triangulaire$

Soit

A = 100 - 1 10 - 1 - 1 1

Q1-Calculer le polynôme caractéristique de A.

Q2-Trigonaliser la matrice A.

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148. $Trigonaliser une matrice à bloc 2 \times 2$

Trigonaliser la matrice

A = 100001 0 - 1 2 .

Voir le corrigé

Soit

A = 100001 0 - 1 2

.
1. Polynôme caractéristique et spectre :
Le polynôme caractéristique de

A

se calcule facilement :

χ_{A} (X) = det (X I_{3} - A) = (X - 1) det (X - 1 1 X - 2) = (X - 1) (X (X - 2) + 1) = (X - 1) (X^{2} - 2 X + 1) = (X - 1)^{3}

.
Le polynôme caractéristique est scindé, la matrice

A

est donc trigonalisable. L'unique valeur propre est

λ = 1

.
2. Recherche des vecteurs propres (Espace propre $E_{1}$ ) :
Le sous-espace propre

E_{1} = ker (A - I_{3})

est donné par le système :

⎩ ⎨ ⎧ 0 = 0 - y - z = 0 y + z = 0 ⟹ z = - y

.
Ainsi, les vecteurs propres sont de la forme

(x, y, - y)^{T}

. Une base de

E_{1}

est formée de

e_{1} = (1, 0, 0)^{T}

e_{2} = (0, 1, - 1)^{T}

. La dimension de

E_{1}

est 2, ce qui est strictement inférieur à 3 (la multiplicité algébrique). La matrice n'est pas diagonalisable.
3. Trigonalisation :
Pour trigonaliser

A

, on complète la base

(e_{1}, e_{2})

par un troisième vecteur

e_{3}

tel que

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

soit une base de

R^{3}

.
Prenons par exemple

e_{3} = (0, 0, 1)^{T}

.
Calculons l'image de

e_{3}

par

A

A e_{3} = (0, - 1, 2)^{T}

.
Exprimons

A e_{3}

dans la base

(e_{1}, e_{2}, e_{3})

: on cherche

a, b, c

tels que

A e_{3} = a e_{1} + b e_{2} + c e_{3}

.
On voit que

A e_{3} = - e_{2} + e_{3}

. Donc

a = 0, b = - 1, c = 1

.
La matrice de passage est

P = (e_{1} ∣ e_{2} ∣ e_{3}) = 100 01 - 1 001

.
La matrice triangulaire supérieure obtenue est

T = P^{- 1} A P = 100010 0 - 1 1

149. $Trigonaliser, matrice de passage$

Montrer que la matrice

13 - 2 - 5 - 5 74 - 2 - 8 7

est trigonalisable et préciser une matrice de passage.

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150. $Commutation et sous-espaces propres$

Soient f, g endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension finie.
On suppose que f est diagonalisable. Montrer :

f \circ g

g \circ f

\Leftarrow ⟹

chaque sous-espace propre de f est stable par g.

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151. $Tout stable a un supplémentaire$

Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie.
Déterminer les

f \in L

(E) tels que tout sous-espace vectoriel de E stable par f
possède un supplémentaire stable.

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152. $Hyperplan stable et forme linéaire$

Soient

E

K

-espace vectoriel muni d'une base

B

f \in L (E)

H

un hyperplan.

Q1-Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel

u

\in

E^* u(H) = {0}

.

Q2-Montrer que si H a pour équation u(x) = 0 alors H est stable par f si, et
seulement si, u

\circ

f est colinéaire à u.

Q3-Soient A et L les matrices dans B de f et u.
Montrer que H est stable par f si, et seulement si, tL est vecteur propre de tA

Q4-Déterminer les plans stables par

A =

-2
-4
-1
-2
-2
.

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153. $Une droite ou un plan stable existe$

Soit

u

un endomorphisme d'un

R

-espace vectoriel

E

de dimension finie non nulle.
Montrer qu'il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par

u

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154. $Plan stable, valeur propre complexe$

Soient f une endomorphisme de Rn et A sa matrice dans la base canonique de
Rn. On suppose que

λ

est une valeur propre non réelle de A et que

Z \in C n

est un
vecteur propre associé.
On note X et Y les vecteurs de Rn dont les composantes sont respectivement les
parties réelles et imaginaires des composantes de Z.

Q1-Montrer que

X

Y

sont non colinéaires.

Q2-Montrer que

Vect (X, Y)

est stable par

f

Q3-On suppose que la matrice de

f

est

A

, matrice réelle

4 \times 4

de polynôme caractéristique

(X + 1) (X - 2) (X^{2} - 2 X + 2)

.
Déterminer tous les plans stables par

f

.

*Énoncé fourni par le concours Centrale-Supélec (CC-BY-NC-SA).*

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155. $Sous-espaces stables si u^{3} = Id$

Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et

u \in L

(E) tel que
u3 = Id.
Décrire les sous-espaces stables de u.
Même question avec E un R-espace vectoriel.

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156. $Stable ssi base de vecteurs propres$

Soit

u

un endomorphisme diagonalisable d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension
finie.
Montrer qu'un sous-espace vectoriel

F

non nul est stable par

u

si, et seulement si,
il possède une base de vecteurs propres de

u

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157. $Stables pour un spectre simple$

Soit

f

l'endomorphisme de

R^{3}

dont la matrice est

A = 521 14 - 1 - 1 - 2 3

dans la base canonique.
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables par

f

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158. $det A comme produit des valeurs propres$

Expliquer pourquoi le déterminant de

A \in M_{n} (R)

est le produit des valeurs
propres complexes de

A

, valeurs propres comptées avec multiplicité.

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159. $Spectre de A^{k} pour χ_{A} scindé$

Soit

A \in M_{n} (K)

. On suppose

χ_{A}

scindé.

Q1-Justifier que

A

est trigonalisable.

Q2-Établir que pour tout

k \in N

Sp (A^{k}) = {λ^{k} ∣ λ \in Sp (A)}

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160. $Matrice entière de spectre λ_{i}^{p}$

Soit

A \in M_{n} (Z)

de polynôme caractéristique

i = 1 \prod n (X - λ_{i})

avec

λ_{i} \in C

.
Déterminer une matrice à coefficients entiers de polynôme caractéristique

i = 1 \prod n (X - λ_{i}^{p})

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122.Équation de Sylvester par blocs

123.eiθ+eikθ=1 et suites récurrentes

124.Matrices liées à leur comatrice

125.Diagonalisable via Im(u±Id)

126.Diagonalisabilité de P−(X+1)P′

127.Diagonalisabilité de (X2−1)P′′+2XP′

128.Diagonalisabilité de (X−a)(X−b)P′−nXP

129.Diagonalisabilité de M+tr(M)In​

130.Diagonalisabilité de u↦f∘u

131.Diagonalisabilité de f↦fp+pf

132.Éléments propres du reste de AP mod B

133.Isomorphisme du reste modulo B

134.Éléments propres de fu−uf, f2=f

135.Diagonalisable et nilpotent : [f,g]

136.Étude spectrale de f(ek​)=ek​+∑ei​

137.Valeurs propres de v↦u∘v

138.Diagonalisabilité de M↦DM−MD

139.Diagonalisabilité de AS+StA

140.Base cyclique et matrice compagnon

141.Dimension du commutant de f

142.Décomposition Im(fk)⊕Ker(fk)

143.Commutant réduit aux polynômes en f

144.Égalité u=v à partir de u3=v3

145.Vecteur propre commun à A et B

146.Trigonaliser une matrice dense

147.Trigonaliser matrice triangulaire

148.Trigonaliser une matrice à bloc 2×2

149.Trigonaliser, matrice de passage

150.Commutation et sous-espaces propres

151.Tout stable a un supplémentaire

152.Hyperplan stable et forme linéaire

153.Une droite ou un plan stable existe

154.Plan stable, valeur propre complexe

155.Sous-espaces stables si u3=Id

156.Stable ssi base de vecteurs propres

157.Stables pour un spectre simple

158.detA comme produit des valeurs propres

159.Spectre de Ak pour χA​ scindé

160.Matrice entière de spectre λip​

122. $Équation de Sylvester par blocs$

123. $e^{i θ} + e^{ik θ} = 1 et suites récurrentes$

124. $Matrices liées à leur comatrice$

125. $Diagonalisable via Im (u \pm Id)$

126. $Diagonalisabilité de P - (X + 1) P^{'}$

127. $Diagonalisabilité de (X^{2} - 1) P^{''} + 2 X P^{'}$

128. $Diagonalisabilité de (X - a) (X - b) P^{'} - n X P$

129. $Diagonalisabilité de M + tr (M) I_{n}$

130. $Diagonalisabilité de u \mapsto f \circ u$

131. $Diagonalisabilité de f \mapsto f p + p f$

132. $Éléments propres du reste de A P mod B$

133. $Isomorphisme du reste modulo B$

134. $Éléments propres de f u - u f, f^{2} = f$

135. $Diagonalisable et nilpotent : [f, g]$

136. $Étude spectrale de f (e_{k}) = e_{k} + \sum e_{i}$

137. $Valeurs propres de v \mapsto u \circ v$

138. $Diagonalisabilité de M \mapsto D M - M D$

139. $Diagonalisabilité de A S + S^{t} A$

140. $Base cyclique et matrice compagnon$

141. $Dimension du commutant de f$

142. $Décomposition Im (f^{k}) \oplus Ker (f^{k})$

143. $Commutant réduit aux polynômes en f$

144. $Égalité u = v à partir de u^{3} = v^{3}$

145. $Vecteur propre commun à A et B$

146. $Trigonaliser une matrice dense$

147. $Trigonaliser matrice triangulaire$

148. $Trigonaliser une matrice à bloc 2 \times 2$

149. $Trigonaliser, matrice de passage$

150. $Commutation et sous-espaces propres$

151. $Tout stable a un supplémentaire$

152. $Hyperplan stable et forme linéaire$

153. $Une droite ou un plan stable existe$

154. $Plan stable, valeur propre complexe$

155. $Sous-espaces stables si u^{3} = Id$

156. $Stable ssi base de vecteurs propres$

157. $Stables pour un spectre simple$

158. $det A comme produit des valeurs propres$

159. $Spectre de A^{k} pour χ_{A} scindé$

160. $Matrice entière de spectre λ_{i}^{p}$