Exercices de Réduction géométrique en maths Spé (prépa) (page 7)

242. $Base propre, famille commutante$

Soit

(u_{i})_{i \in I}

une famille d'endomorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel

E

de dimension finie qui commutent deux à deux. Montrer qu'ils sont simultanément diagonalisables.

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243. $Trigonalisable si polynôme scindé$

Soit

u

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que

u

est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

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244. $Compagnon et polynôme scindé$

Soit

P \in K [X]

un polynôme unitaire de degré

n

. On note

C_{P}

la matrice compagnon de

P

. Montrer que

C_{P}

est trigonalisable si et seulement si

P

est scindé sur

K

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245. $Polynômes d'un nilpotent d'indice p$

Soit

u

un endomorphisme nilpotent d'indice

p

d'un

K

-espace vectoriel de dimension

n

.
1. Quel est le polynôme caractéristique de

u

?
2. Quel est le polynôme minimal de

u

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246. $Similitude sur C implique sur R$

Soient

A

B

deux matrices de

M_{n} (R)

semblables sur

C

. Montrer que

A

B

sont semblables sur

R

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247. $Rang du complément de Schur$

Soit

M = (A C B D)

où

A \in GL_{p} (R)

D \in M_{q} (R)

. On pose

S = D - C A^{- 1} B

. Montrer que

rg (M) = rg (A) + rg (S)

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248. $Mines P' 1995$

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie et

f

un endomorphisme de

E

nilpotent d'indice

n

. On pose

Φ : {L (E) \to L (E) g \mapsto f \circ g - g \circ f

Q1-Montrer que

Φ^{p} (g) = k = 0 \sum p (- 1)^{k} (k p) f^{p - k} \circ g \circ f^{k}

. En déduire que

Φ

est nilpotent.

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249. $Décomposition via des projecteurs$

Soient

p_{1}, \dots, p_{n}

des projecteurs d'un espace vectoriel

E

de dimension finie tels que

p_{1} + \dots + p_{n} = Id_{E}

.
Montrer que

Im p_{1} \oplus \dots \oplus Im p_{n} = E

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250. $Suites périodiques et somme directe$

Soient

E

l'ensemble des suites réelles constantes,

F

l'ensemble des suites réelles

(u_{n})

vérifiant

u_{n + 1} + u_{n} = 0

pour tout

n \in N

G

l'ensemble des suites réelles

(u_{n})

vérifiant

u_{n + 2} + u_{n} = 0

pour tout

n \in N

et enfin

H

l'ensemble des suites réelles périodiques de période

4

Q1-Montrer que

E

F

G

H

sont des sous-espaces vectoriels de

R^{N}

Q2-Montrer que

E

F

G

sont inclus dans

H

Q3-Montrer que

E \oplus F \oplus G = H

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251. $Produit de Kronecker de matrices 2 \times 2$

Pour

(A, B) \in M_{2} (C)^{2}

, on note

A \otimes B

la matrice de

M_{4} (C)

définie par blocs :

A \otimes B = (a_{11} B a_{21} B a_{12} B a_{22} B)

Q1-Soit

(A, B, C, D) \in M_{2} (C)^{4}

. Montrer que

(A \otimes B) (C \otimes D) = (A C) \otimes (B D)

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252. $Déterminant du complément de Schur$

Soit

M = (A C B D)

où

A \in GL_{p} (R)

D \in M_{q} (R)

. On pose

S = D - C A^{- 1} B

. Montrer que

det (M) = det (A) det (S)

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253. $Déterminant de M \mapsto A M$

Soit

A \in M_{2} (R)

. On pose

m_{A} : {M_{2} (R) \to M_{2} (R) M \mapsto A M

Q1-Justifier que

m_{A}

est un endomorphisme de

M_{2} (R)

Q2-Montrer que

det m_{A} = (det A)^{2}

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254. $Valeur propre de g \circ f implique f \circ g$

Soient

E

K

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in L (E)

. Montrer que si

λ \in K

est valeur propre de

g \circ f

, alors

λ

est également valeur propre de

f \circ g

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255. $Vecteurs propres communs$

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et

(u, v) \in L (E)^{2}

. Montrer que

u

v

ont un vecteur propre commun dans chacun des cas suivants.

Q1-

u \circ v = 0

Q2-

\exists a \in C, u \circ v = a u

Q3-

\exists b \in C, u \circ v = b v

Q4-

u \circ v = Id_{E}

Q5-

\exists (a, b) \in C^{2}, u \circ v = a u + b v

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256. $Mêmes valeurs propres pour uv et v u$

Soient

u

v

deux endomorphismes d'un

K

-espace vectoriel (

K = R

C

) de dimension finie

E

. Montrer que

u \circ v

v \circ u

ont les mêmes valeurs propres.

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257. $Théorème de Gerschgorin$

Soit

A \in M_{n} (C)

dont les coefficients sont notés

a_{i, j}

. Pour

1 \leq i \leq n

, on pose

R_{i} = j \neq = i \sum ∣ a_{i, j} ∣

et on note

D_{i}

le disque de centre

a_{i, i}

et de rayon

R_{i}

. Montrer que toute valeur propre de

A

appartient à l'un au moins des disques

D_{i}

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258. $Éléments propres de l'opérateur X P^{'}$

Soit

φ

l'endomorphisme de

K [X]

défini par

φ (P) = X P^{'}

pour tout

P \in K [X]

. Déterminer les éléments propres de

φ

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259. $Spectre d'un opérateur intégral$

Soit

E = C^{\infty} (R, R)

. Pour

f \in E

, on définit l'application

T (f)

par

\forall x \in R, T (f) (x) = e^{- x} \int_{0}^{x} f (t) e^{t} d t

Q1-Montrer que

T

est un endomorphisme de

E

Q2-Déterminer les valeurs propres de

T

et les sous-espaces propres associés.

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260. $Opérateur à noyau 1/ t$

Soit

E = {f \in C^{1} (R_{+}, R), f (0) = 0}

Q1-Soit

f \in E

. Montrer que

\int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t} d t

est définie pour tout

x \in R_{+}

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261. $Opérateur de moyenne de Cesàro$

Soit

E = C^{0} (R_{+}, R)

Q1-Soit

f \in E

. Montrer que

x \in R_{+}^{*} \mapsto \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t

est prolongeable en

0

en une application continue sur

R_{+}

. On notera ce prolongement

T (f)

Q2-Montrer que

T

est un endomorphisme de

E

Q3-Déterminer les valeurs propres de

T

et les sous-espaces propres associés.

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262. $Matrices stochastiques$

Soit

A \in M_{n} (R)

telle que

A_{ij} \geq 0

pour tout

(i, j) \in [[1, n]]^{2}

j = 1 \sum n A_{i, j} = 1

pour tout

i \in [[1, n]]

Q1-Montrer que

1 \in Sp (A)

Q2-Montrer que

\forall λ \in Sp_{C} (A), ∣ λ ∣ \leq 1

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263. $Opérateur à noyau min (x, t)$

Soit

E

l'ensemble des fonctions continues de

[0, 1]

dans

R

. A toute application

f \in E

, on associe l'application

Φ (f) : x \in [0, 1] \mapsto \int_{0}^{1} min (x, t) f (t) d t

Q1-Montrer que

Φ

est un endomorphisme de

E

Q2-Déterminer les éléments propres de

Φ

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264. $Mines-Ponts MP 2016$

Soit

E

un espace euclidien de dimension finie. On considère des vecteurs unitaires

a

b

E

formant une famille libre.
Réduire l'endomorphisme

φ : {E \to E x \mapsto ⟨ a ∣ x ⟩ a + ⟨ b ∣ x ⟩ b

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265. $Opérateur différentiel sur R_{n} [X]$

Montrer que l'application

φ : P \in R_{n} [X] \mapsto X (X + 1) P^{'} - n X P

est un endomorphisme de

R_{n} [X]

et déterminer ses éléments propres.

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266. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

Soit l'endomorphisme

u : {M_{n} (R) \to M_{n} (R) M \mapsto M + tr (M) I_{n}

Déterminer les valeurs propres de

u

, ainsi que les espaces propres associés.

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267. $Mines-Ponts MP 2022$

Soit

p \in] - 1, 1 [∖ {0}

. Posons

q = 1 - p

E = C^{\infty} (R, R)

. On pose pour

f \in E

x \in R

u (f) (x) = f (p x + q)

Q1-Montrer que

u

est un automorphisme de

E

Q2-Montrer que

Sp (u) \subset] - 1, 1] ∖ {0}

Q3-Montrer que si

f

est un vecteur propre de

u

, alors il existe

k \in N^{*}

tel que

f^{(k)} = 0

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268. $Vecteur propre commun$

Soient

E

C

-espace vectoriel de dimension finie et

(u, v) \in L (E)^{2}

tel que

u \circ v = v \circ u

.
Montrer que

u

v

ont un vecteur propre commun.

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269. $Endomorphisme involutif de R_{2} [X]$

Soit

f : P \in R_{2} [X] \mapsto X^{2} P (1/ X)

Q1-Montrer que

f

est un endomorphisme de

R_{2} [X]

Q2-Calculer la matrice

A

f

dans la base canonique de

R_{2} [X]

et déterminer les éléments propres de

A

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270. $Saint-Cyr MP 2025$

Soit

(A, B) \in M_{n} (C)^{2}

tel que

A B = 0

. Montrer que

A

B

ont un vecteur propre commun.

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271. $Matrice compagnon$

Soient

(a_{0}, \dots, a_{n - 1}) \in K^{n}

A = 010 ⋮ 0 \dots ⋱ ⋱ ⋱ \dots \dots ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ 01 - a_{0} - a_{1} ⋮ - a_{n - 2} - a_{n - 1}

. Déterminer le polynôme caractéristique de

A

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272. $Spectre et transposée d'une matrice$

Soit

A \in M_{n} (K)

Q1-Montrer que

χ_{A} = χ_{A^{⊤}}

Q2-Montrer que

Sp (A) = Sp (A^{⊤})

Q3-Montrer que pour tout

λ \in Sp (A)

dim E_{λ} (A) = dim E_{λ} (A^{⊤})

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273. $E3A MP 2015 Maths 1$

A toute suite

(a_{n})_{n \in N^{*}}

de réels et toute suite

(b_{n})_{n \in N^{*}}

de réels non nuls, on associe la suite de matrices

(A_{n})

où

A_{n}

est la matrice tridiagonale symétrique de

M_{n} (R)

avec

a_{i}

sur la diagonale et

b_{i}

sur les sur/sous-diagonales.
On note

P_{n} (X) = det (X I_{n} - A_{n})

le polynôme caractéristique de

A_{n}

Q1-Déterminer une relation de récurrence entre

P_{n + 1} (X)

P_{n} (X)

P_{n - 1} (X)

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274. $Polynôme caractéristique de uv et v u$

Soient

u

v

deux endomorphismes d'un

K

-espace vectoriel (

K = R

C

) de dimension finie

E

Q1-On suppose

u

inversible. Montrer que

u \circ v

v \circ u

ont même polynôme caractéristique.

Q2-Traiter le cas où

u

est non inversible.

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275. $Algorithme de Faddeev$

Soit

A \in M_{n} (K)

. On note

P

le polynôme caractéristique de

A

. Pour

λ \in K

, on pose

B (λ) = com (λ I_{n} - A)^{⊤}

Q1-Montrer qu'il existe des matrices

B_{0}, B_{1}, \dots, B_{n - 1}

M_{n} (K)

telles que

B (λ) = k = 0 \sum n - 1 λ^{n - 1 - k} B_{k}

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276. $Endomorphisme de différences finies$

Soit

p \in N^{*}

. On note

E_{p}

l'ensemble des suites de

C^{Z}

p

-périodiques. On note

D_{p}

l'endomorphisme de

E_{p}

qui à une suite

(u_{n})

associe la suite

(2 u_{n} - u_{n + 1} - u_{n - 1})

. Déterminer le coefficient de

X

dans le polynôme caractéristique de

D_{p}

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277. $Mines-Ponts MP 2018$

Soient

E

un espace vectoriel de dimension

n \in N^{*}

, et

(f, g) \in L (E)^{2}

.
On suppose qu'il existe

h \in L (E)

de rang

r \geq 1

tel que

h \circ g = f \circ h

. Montrer que

χ_{f}

χ_{g}

ont un facteur commun de degré

r

.
La réciproque est-elle vraie ?

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278. $Polynômes caractéristiques de A B et B A$

Soient

λ \in K

A \in M_{n, p} (K)

B \in M_{p, n} (K)

. On pose

M = (λ I_{n} - B - A I_{p})

En multipliant

M

à gauche et à droite par des matrices bien choisies, montrer que

λ^{p} χ_{A B} (λ) = λ^{n} χ_{B A} (λ)

.
En déduire que

χ_{A B} = χ_{B A}

n = p

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279. $CCP 2015$

Soient

E

un espace vectoriel de dimension

2 n + 1

et de base

(e_{1}, \dots, e_{2 n + 1})

ainsi que

u

l'endomorphisme de

E

tel que

u (e_{1}) = e_{1} + e_{2 n + 1}

u (e_{i}) = e_{i - 1} + e_{i}

pour tout

i \in [[2, 2 n + 1]]

Q1-Déterminer le polynôme caractéristique de

u

Q2-Montrer que

u

est inversible et déterminer un polynôme

P

tel que

u^{- 1} = P (u)

Q3-Déterminer les valeurs propres complexes de

u

Q4-En déduire

k = 0 \prod 2 n cos (\frac{k π}{2 n + 1})

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280. $Trace de M \mapsto M^{⊤}$

Calculer la trace de l'endomorphisme

Φ : {M_{n} (K) \to M_{n} (K) M \mapsto M^{⊤}

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242.Base propre, famille commutante

243.Trigonalisable si polynôme scindé

244.Compagnon et polynôme scindé

245.Polynômes d'un nilpotent d'indice p

246.Similitude sur C implique sur R

247.Rang du complément de Schur

248.Mines P' 1995

249.Décomposition via des projecteurs

250.Suites périodiques et somme directe

251.Produit de Kronecker de matrices 2×2

252.Déterminant du complément de Schur

253.Déterminant de M↦AM

254.Valeur propre de g∘f implique f∘g

255.Vecteurs propres communs

256.Mêmes valeurs propres pour uv et vu

257.Théorème de Gerschgorin

258.Éléments propres de l'opérateur XP′

259.Spectre d'un opérateur intégral

260.Opérateur à noyau 1/t

261.Opérateur de moyenne de Cesàro

262.Matrices stochastiques

263.Opérateur à noyau min(x,t)

264.Mines-Ponts MP 2016

265.Opérateur différentiel sur Rn​[X]

266.Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

267.Mines-Ponts MP 2022

268.Vecteur propre commun

269.Endomorphisme involutif de R2​[X]

270.Saint-Cyr MP 2025

271.Matrice compagnon

272.Spectre et transposée d'une matrice

273.E3A MP 2015 Maths 1

274.Polynôme caractéristique de uv et vu

275.Algorithme de Faddeev

276.Endomorphisme de différences finies

277.Mines-Ponts MP 2018

278.Polynômes caractéristiques de AB et BA

279.CCP 2015

280.Trace de M↦M⊤

242. $Base propre, famille commutante$

243. $Trigonalisable si polynôme scindé$

244. $Compagnon et polynôme scindé$

245. $Polynômes d'un nilpotent d'indice p$

246. $Similitude sur C implique sur R$

247. $Rang du complément de Schur$

248. $Mines P' 1995$

249. $Décomposition via des projecteurs$

250. $Suites périodiques et somme directe$

251. $Produit de Kronecker de matrices 2 \times 2$

252. $Déterminant du complément de Schur$

253. $Déterminant de M \mapsto A M$

254. $Valeur propre de g \circ f implique f \circ g$

255. $Vecteurs propres communs$

256. $Mêmes valeurs propres pour uv et v u$

257. $Théorème de Gerschgorin$

258. $Éléments propres de l'opérateur X P^{'}$

259. $Spectre d'un opérateur intégral$

260. $Opérateur à noyau 1/ t$

261. $Opérateur de moyenne de Cesàro$

262. $Matrices stochastiques$

263. $Opérateur à noyau min (x, t)$

264. $Mines-Ponts MP 2016$

265. $Opérateur différentiel sur R_{n} [X]$

266. $Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021$

267. $Mines-Ponts MP 2022$

268. $Vecteur propre commun$

269. $Endomorphisme involutif de R_{2} [X]$

270. $Saint-Cyr MP 2025$

271. $Matrice compagnon$

272. $Spectre et transposée d'une matrice$

273. $E3A MP 2015 Maths 1$

274. $Polynôme caractéristique de uv et v u$

275. $Algorithme de Faddeev$

276. $Endomorphisme de différences finies$

277. $Mines-Ponts MP 2018$

278. $Polynômes caractéristiques de A B et B A$

279. $CCP 2015$

280. $Trace de M \mapsto M^{⊤}$