Exercices de Réduction géométrique en maths Spé (prépa) (page 5)

162. $Polynôme caractéristique de P (A)$

Soient

A \in M n

(K) et

P \in K

[X].
On suppose le polynôme caractéristique de A de la forme
χA(X) =
n
Y
k=1
(X -

λ

k).
Exprimer le polynôme caractéristique de P(A).

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163. $En dimension 2 puis 3 : B \in K [A] ou A \in K [B]$

On étudie la possibilité d'écrire une matrice carrée comme polynôme en une autre matrice avec laquelle elle commute.

Q1-Soient A et B dans M2(K) telles que AB = BA. Montrer que B

\in

K [A] ou
A

\in

K [B].

Q2-Le résultat subsiste-t-il dans

M_{3}

(K) ?

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164. $Valeurs propres via tr (A^{m}) \to 0$

Soit

A \in M n

\to

0 quand m

\to

\infty

.
Montrer que les valeurs propres de A sont de module < 1

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165. $Traces des puissances et spectre$

Soient

A

B \in M_{n} (C)

vérifiant

\forall m \in N

tr (A^{m}) = tr (B^{m})

.
Montrer que les matrices

A

B

ont les mêmes valeurs propres.

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166. $Produit de Kronecker: inversibilité$

Pour

A = (a_{i, j}) \in M_{n} (C)

B = (b_{i, j}) \in M_{n} (C)

, on définit

A * B \in M_{n^{2}} (C)

par

A * B = a_{1, 1} B ⋮ a_{n, 1} B \dots \dots a_{1, n} B ⋮ a_{n, n} B

Q1-Montrer que si

A, A^{'}, B, B^{'} \in M_{n} (C)

alors

(A * B) (A^{'} * B^{'}) = (A A^{'}) * (B B^{'})

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167. $Valeurs propres des puissances de A$

Soit

A \in M n

(C). Déterminer les valeurs propres de Ak pour

k \in N

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168. $Racine carrée de - I_{2 n} par blocs$

Soit

A = (O_{n} - I_{n} I_{n} O_{n}) \in M_{2 n} (K)

.
Calculer

A^{2}

.
Selon que

K = R

C

dire si la matrice

A

est, ou non, diagonalisable.

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169. $Spectre d'un bloc antidiagonal$

Soient

n \in N

^*et

A \in M 2 n

Q1-Calculer

A_{2}

Q2-La matrice A est-elle diagonalisable ? Déterminer les valeurs propres de A et
les

d im e

nsions de ses espaces propres ?

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170. $Diagonalisabilité des permutations$

Montrer qu'une matrice de permutation est diagonalisable.

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171. $Relation M^{2} +^{t} M = I_{n} et diagonalisation$

Soit

M \in M_{n} (C)

telle que

M^{2} +^{t} M = I_{n}

Q1-Montrer
M inversible si, et seulement si, 1 /

\in

Sp M.

Q2-Montrer que la matrice M est diagonalisable.

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172. $Diagonalisabilité de M^{2} +^{t} M = 2 I_{n}$

Soit

M \in M_{n} (R)

vérifiant

M^{2} +^{t} M = 2 I_{n}

. Montrer que cette matrice

M

est
diagonalisable.

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173. $Symétrie et diagonalisabilité de M^{2} +^{t} M = I_{n}$

Soient

n

un entier supérieur ou égal à 2 et

M

une matrice carrée de taille

n

telle que

M^{2} +^{t} M = I_{n}

.
Quelles sont les valeurs propres de

M

? Est-elle symétrique ? Est-elle diagonalisable ?

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174. $Matrices d'ordre fini dans GL_{2} (Z)$

Soit

A \in M_{2} (Z)

telle que

det A = 1

et qu'il existe

p \in N^{*}

pour lequel

A^{p} = I_{2}

Q1-Montrer que

A

est diagonalisable dans

C

.
On note

α

β

les deux valeurs propres de

A

Q2-Montrer que

∣ α ∣ = ∣ β ∣ = 1

, que

α = \overset{ˉ}{β}

Re (α) \in {0, 1/2, 1}

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175. $Bloc triangulaire diagonalisable ?$

Soit

M = (A O A A)

avec

A \in M_{n} (R)

Q1-Montrer que
P(M) =
P(A)
AP '(A)
(0)
P(A)
"
pour tout P

\in

R[X].

Q2-Énoncer une condition nécessaire et suflsante pour que M soit diagonalisable.

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176. $Couples (A, B) et bloc diagonalisable$

Déterminer les couples

(A, B) \in M_{n} (R)^{2}

tels que

(A O B A)

est diagonalisable.

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177. $Matrices vérifiant M^{5} = M^{2} et tr (M) = n$

Trouver les matrices

M \in M n

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178. $Combinaisons de deux projecteurs$

Soit

λ, μ \in C^{*}, λ \neq = μ

A, B, M \in M_{p} (C)

telles que

⎩ ⎨ ⎧ I_{p} = A + B M = λ A + μ B M^{2} = λ^{2} A + μ^{2} B

Q1-Montrer que M est inversible et exprimer M -1.
On pourra calculer M 2 -(

λ

+ µ)M +

λ

µIp

Q2-Montrer que A et B sont des projecteurs.

Q3-La matrice M est-elle diagonalisable ? Déterminer son spectre.

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179. $Puissances liées de deux matrices$

Soit

(A, B, C) \in M_{n} (R)^{3}

tel que

C = A + B

C^{2} = 2 A + 3 B

C^{3} = 5 A + 6 B

.
Les matrices

A

B

sont-elles diagonalisables ?

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180. $Cas d'égalité et matrices M^{n} = I_{n}$

On étudie le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire complexe, puis on applique ce résultat à la caractérisation des matrices

M

vérifiant

M^{n} = I_{n}

tr (M) = n

Q1-Montrer que, pour z1, . . . , zn

\in

C avec z1 ≠ 0, on a l'égalité

n
X
k=1
zk
=
n
X
k=1
|zk|
si, et seulement si, il existe n -1 réels positifs

α

2, . . . ,

α

n tels que

\forall

\geq

2, zk =

α

kz1.

Q2-Déterminer toutes les matrices de

M_{n}

n =

I_{n} et

t r M

= n

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181. $Base cyclique et matrice périodique$

Soient

M = 01000 - 1 0000 000100000100100 \in M_{5} (R)

m \in L (R^{5})

canoniquement associé à

M

Q1-En procédant à un calcul par blocs, déterminer

p \in N^{*}

tel que

M^{p} = I_{5}

.
En déduire que

M

est diagonalisable dans

M_{5} (C)

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182. $Solutions matricielles de M^{2} + M = A$

On étudie les matrices de

M_{2} (R)

vérifiant une équation matricielle polynomiale, à l'aide de polynômes annulateurs.

Q1-Trouver les valeurs propres des matrices M

\in

M2(R) vérifiant
M 2 + M =
"
.

Q2-Déterminer alors les matrices M solutions à l'aide de polynômes annulateurs
appropriés.

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183. $Restriction à un sous-espace stable$

Soit

f

un endomorphisme diagonalisable d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Montrer que la restriction de

f

à tout sous-espace vectoriel

F \neq = {0}

stable est diagonalisable.

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184. $Un bloc de Jordan élémentaire$

Soit

u

un endomorphisme d'un

K

-espace vectoriel pour lequel il existe une base

e = (e_{1}, \dots, e_{n})

vérifiant

u (e_{1}) = e_{1}

u (e_{2}) = e_{1} + e_{2}

Q1-L'endomorphisme

u

est-il diagonalisable ?

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185. $Critère de codiagonalisation$

Soient

f

g

deux endomorphismes diagonalisables d'un

K

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Montrer que

f

g

sont simultanément diagonalisables si, et seulement si, chaque sous-espace propre de l'un est stable par l'autre.

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186. $Relations croisées p \circ q = q, q \circ p = p$

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p et q dans L(E) tels que

p \circ q

= q et

q \circ p

= p. Les endomorphismes p et q sont-ils diagonalisables ?
codiagonalisables ?

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187. $Nilpotence : χ_{A} = X^{n}$

Soit

A \in M n

Q1-Calculer χA.

Q2-Même question avec A

\in

Mn(R).

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188. $Réduction triangulaire stricte$

Soit

A \in M n

Q1-Montrer que A est semblable à une matrice

t r i

angulaire supérieure stricte.

Q2-Le résultat est-il encore vrai pour A

\in

Mn(R) ?

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189. $Déterminant de A + M pour A nilpotente$

Soit

A \in M n

(C). On suppose qu'il existe

p \in N

^*tel que Ap = 0.

Q1-Montrer que A_{n}

= 0

Q2-Calculer det(A + In).
Soit M

\in

Mn(C) tel que AM = MA.

Q3-Calculer det(A + M) (on pourra commencer par le cas où M

\in

GLn(C)).

Q4-Le résultat est-il encore vrai si M ne commute pas avec A ?

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190. $Ajout d'un nilpotent au déterminant$

Soient

A \in G L n

N \in M n

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191. $Caractérisations de la nilpotence$

Soient E un C-espace vectoriel de dimension n et

f \in L

(E).

Q1-Montrer que l'endomorphisme

f

est nilpotent si, et seulement si,

Sp (f) = {0}

Q2-Montrer que l'endomorphisme f est nilpotent si, et seulement si,

\forall

\leq

\leq

n, tr(f k) = 0.

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192. $Une seule valeur propre : nilpotent$

Soit u un endomorphisme d'un C-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que u possède une seule valeur propre si, et seulement si, il existe

λ \in

C
tel que u -

λ

IdE soit nilpotent.

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193. $Nilpotence via combinaisons A + 2^{k} B$

Soient A et B des matrices complexes carrées d'ordre n. On suppose les matrices
A + 2kB nilpotentes pour tout entier k tel que 0

\leq

\leq

n. Montrer que les
matrices A et B sont nilpotentes.

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194. $Nilpotence via n + 1 valeurs distinctes$

Soient

n \in N

^*, A et B dans Mn(C) et

λ

1, . . . ,

λ

λ

n+1 deux à deux distincts dans
C. On suppose, pour 1

\leq

\leq

n + 1, que A +

λ

iB est nilpotente.
Montrer que A et B sont nilpotentes.

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195. $Vers la décomposition de Dunford$

Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et

u \in L

(E).
On note I1 =

P \in C

[X]
P(u) = 0

et I2 =

P \in C

[X]
P(u) est nilpotent

.

Q1-Montrer que

I_{1}

I_{2}

sont des idéaux non nuls de C[X].

O_{n}

note

P_{1}

P_{2}

leurs générateurs unitaires respectifs.

Q2-Établir un lien entre

P_{1}

P_{2}

Q3-Montrer l'existence de Q

\in

I2 tel que u -Q(u) est diagonalisable

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196. $Une forme multiplicative sur M_{2} (R)$

Soit

Φ

: M2(R)

\to

R vérifiant

\forall

B \in M 2

(R),

Φ

(AB) =

Φ

(A)

Φ

(B) et

Φ

"
≠

Φ

(I2).

Q1-Démontrer que

Φ

(O2) = 0.

Q2-Si A est nilpotente, démontrer que

Φ

(A) = 0.

Q3-Soient A

\in

M2(R) et B la matrice obtenue à partir de A en permutant les
lignes de A.
Démontrer que

Φ

(B) = -

Φ

(A).

Q4-Démontrer que A est inversible si, et seulement si,

Φ

(A) ≠ 0.

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197. $Matrices vérifiant A^{k + 1} = A^{k}$

Soit

A \in M_{n} (R)

Q1-On suppose

A^{3} = A^{2}

. Montrer que

A^{2}

est diagonalisable et que

A^{2} - A

est nilpotente.

Q2-Plus généralement, on suppose

A^{k + 1} = A^{k}

pour un certain entier

k > 0

.
Établir l'existence d'un entier

p > 0

tel que

A^{p}

soit diagonalisable et

A^{p} - A

nilpotente.

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198. $Hyperplan sans matrice inversible$

Pour

n \geq 2

, on note

H

un hyperplan de

M_{n} (K)

ne contenant aucune matrice inversible.

Q1-Montrer que

H

contient toutes les matrices nilpotentes.

Q2-En déduire que tout hyperplan de

M_{n} (K)

rencontre

G L_{n} (K)

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199. $χ inchangé par ajout d'un nilpotent$

Soient

A, M \in M_{n} (C)

avec

M

matrice nilpotente.

Q1-On suppose

M A = O_{n}

. Montrer que les matrices

A + M

A

ont le même polynôme caractéristique.

Q2-Même question en supposant cette fois-ci

A M = O_{n}

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200. $Nilpotentes libres d'un hyperplan$

Soient

n \in N

et E = Mn(C). On note E^*= L(E, C) le C-espace vectoriel des
formes linéaires sur E.

Q1-Montrer que L: E

\to

E^*, A 7

\to

LA où LA est la forme linéaire M 7

\to

tr(AM)
est un isomorphisme
d'espaces vectoriels. En déduire une description des hyperplans de E.

Q2-Soit T

\in

Mn(C) une matrice triangulaire supérieure non nulle et
H = Ker LT .
On note T +
n (respectivement T -
n ) le sous-espace vectoriel des matrices
triangulaires supérieures (respectivement inférieures) à diagonales nulles.
Déterminer H

\cap

T +
n .
En discutant selon que T possède ou non un coeflcient non nul (au moins)
hors de la diagonale, déterminer la dimension de H

\cap

T -
n .

Q3-Une matrice A

\in

Mn(C) est dite nilpotente s'il existe k

\in

N tel que Ak = 0.
Prouver que les éléments de T +
n

\cup

T -
n sont des matrices nilpotentes.
En déduire que H contient au moins n2 -n -1 matrices nilpotentes
linéairement indépendantes.

Q4-Montrer que tout hyperplan de E contient au moins

n 2 - n

-1 matrices
nilpotentes linéairement indépendantes.
Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

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162.Polynôme caractéristique de P(A)

163.En dimension 2 puis 3 : B∈K[A] ou A∈K[B]

164.Valeurs propres via tr(Am)→0

165.Traces des puissances et spectre

166.Produit de Kronecker: inversibilité

167.Valeurs propres des puissances de A

168.Racine carrée de −I2n​ par blocs

169.Spectre d'un bloc antidiagonal

170.Diagonalisabilité des permutations

171.Relation M2+tM=In​ et diagonalisation

172.Diagonalisabilité de M2+tM=2In​

173.Symétrie et diagonalisabilité de M2+tM=In​

174.Matrices d'ordre fini dans GL2​(Z)

175.Bloc triangulaire diagonalisable ?

176.Couples (A,B) et bloc diagonalisable

177.Matrices vérifiant M5=M2 et tr(M)=n

178.Combinaisons de deux projecteurs

179.Puissances liées de deux matrices

180.Cas d'égalité et matrices Mn=In​

181.Base cyclique et matrice périodique

182.Solutions matricielles de M2+M=A

183.Restriction à un sous-espace stable

184.Un bloc de Jordan élémentaire

185.Critère de codiagonalisation

186.Relations croisées p∘q=q, q∘p=p

187.Nilpotence : χA​=Xn

188.Réduction triangulaire stricte

189.Déterminant de A+M pour A nilpotente

190.Ajout d'un nilpotent au déterminant

191.Caractérisations de la nilpotence

192.Une seule valeur propre : nilpotent

193.Nilpotence via combinaisons A+2kB

194.Nilpotence via n+1 valeurs distinctes

195.Vers la décomposition de Dunford

196.Une forme multiplicative sur M2​(R)

197.Matrices vérifiant Ak+1=Ak

198.Hyperplan sans matrice inversible

199.χ inchangé par ajout d'un nilpotent

200.Nilpotentes libres d'un hyperplan

162. $Polynôme caractéristique de P (A)$

163. $En dimension 2 puis 3 : B \in K [A] ou A \in K [B]$

164. $Valeurs propres via tr (A^{m}) \to 0$

165. $Traces des puissances et spectre$

166. $Produit de Kronecker: inversibilité$

167. $Valeurs propres des puissances de A$

168. $Racine carrée de - I_{2 n} par blocs$

169. $Spectre d'un bloc antidiagonal$

170. $Diagonalisabilité des permutations$

171. $Relation M^{2} +^{t} M = I_{n} et diagonalisation$

172. $Diagonalisabilité de M^{2} +^{t} M = 2 I_{n}$

173. $Symétrie et diagonalisabilité de M^{2} +^{t} M = I_{n}$

174. $Matrices d'ordre fini dans GL_{2} (Z)$

175. $Bloc triangulaire diagonalisable ?$

176. $Couples (A, B) et bloc diagonalisable$

177. $Matrices vérifiant M^{5} = M^{2} et tr (M) = n$

178. $Combinaisons de deux projecteurs$

179. $Puissances liées de deux matrices$

180. $Cas d'égalité et matrices M^{n} = I_{n}$

181. $Base cyclique et matrice périodique$

182. $Solutions matricielles de M^{2} + M = A$

183. $Restriction à un sous-espace stable$

184. $Un bloc de Jordan élémentaire$

185. $Critère de codiagonalisation$

186. $Relations croisées p \circ q = q, q \circ p = p$

187. $Nilpotence : χ_{A} = X^{n}$

188. $Réduction triangulaire stricte$

189. $Déterminant de A + M pour A nilpotente$

190. $Ajout d'un nilpotent au déterminant$

191. $Caractérisations de la nilpotence$

192. $Une seule valeur propre : nilpotent$

193. $Nilpotence via combinaisons A + 2^{k} B$

194. $Nilpotence via n + 1 valeurs distinctes$

195. $Vers la décomposition de Dunford$

196. $Une forme multiplicative sur M_{2} (R)$

197. $Matrices vérifiant A^{k + 1} = A^{k}$

198. $Hyperplan sans matrice inversible$

199. $χ inchangé par ajout d'un nilpotent$

200. $Nilpotentes libres d'un hyperplan$